Макроструктури въ пъзлитѣ отъ рода на пентомината и хексиамантитѣ

Въ търсене какво да се реди съ пъзлитѣ на рода на пентомината и хексиамантитѣ, първата идея, която хрумнала, била за прости форми съ симетрична форма, като най-симетричнитѣ форми сѫ най-престижни. Така напримѣръ, отъ пентомината се редятъ правоѫгълници, защото квадратитѣ сѫ невъзможни съ 60 квадратчета. Възможенъ е квадратътъ 8 × 8 съ дупка 2 × 2 точно въ центъра, но формитѣ съ дупка сѫ второразрядни. При хексиамантитѣ е невъзможна фигура съ шесть оси на симетрия, но пъкъ голѣма популярность има форма, която може да бѫде завъртѣна шесть пѫти на по 60° (вж. фиг. 1, въ лѣво). Едностраннитѣ хексиаманти, за които сѫществува форма съ шесть оси на симетрия, сѫ изслѣдвани дори по-рано отъ самите хексиамантитѣ, най-вѣроятно именно поради наличието на тази форма (вж. фиг 1, въ срѣдата). При хептиамантитѣ такава форма сѫщо сѫществува и сѫщо е популярна (фиг. 1, въ дѣсно). 

Фиг. 1. Формата въ срѣдата нѣма дупка, дебело очертаниятъ шестоѫгълникъ е участваща въ пъзела фигурка.

Слѣдъ като се провѣри осѫществимостьта на разнообразнитѣ симетрични форми, правятъ се опити въ областьта на макроструктуритѣ, за които искамъ да говоря: редятъ се форми, които сѫ съставени отъ голѣми блокове, които сѫ на свой редъ по възможность симетрични. Така напримѣръ, при фигуркитѣ съставени отъ квадрати се пробватъ форми, съставени отъ по-голѣми квадрати. Желателно е да се използватъ всички фигурки отъ набора, но това не винаги е възможно. Пентомината могатъ да образуватъ максимумъ петь голѣми квадрата съ страна три и обща площь 45 квадратчета. Тази задача се нарица трипликация или, казано по-просто, утрояване (фиг. 2).

Фиг. 2. Примѣръ за утрояване на пентомино, взетъ отъ сайта https://www.cimt.org.uk/resources/puzzles/pentoes/penttrip.htm.

Нѣщата ставатъ особено интересни при фигуркитѣ съставени отъ триѫгълници и шестоѫгълници. Да вземемъ за примѣръ хексиамантитѣ. Тѣхната обща площь е 72 триѫгълничета, но 72 = 6 × 12 = 24 × 3, слѣдователно трѣбва да се пробватъ форми, съставени отъ дванадесеть шестоѫгълника съ страна едно или отъ три шестоѫгълника съ страна двѣ. Оказва се, че и двѣтѣ възможности сѫ осѫществими, както се вижда по-долу.

Фиг. 3. Горната форма е съставена отъ дванадесеть шестоѫгълника съ страна едно, а долната отъ три със страна двѣ. 

Формитѣ, образувани отъ тритѣ голѣми шестоѫгълника, обаче, сѫ чисто и просто тритѣ трихекса. Така се появява една връзка между фигурки отъ триѫгълници и отъ шестоѫгълници, въ което нѣма нищо изненадващо, защото един шестоѫгълникъ може да бѫде разложенъ на шесть триѫгълника.

Нѣщата ставатъ още по-интересни при хептиамантитѣ, защото тамъ се появава връзка отъ по-високо ниво. Фигуркитѣ сѫ 24, всѣка състояща се отъ седемь триѫгълничета, което дава обща площь отъ 168 (колкото часоветѣ въ една седмица). Но 168 = 6 × 28 = 24 × 7, което означава, че трѣбва да се провѣрятъ форми съставени отъ 28 макро шестоѫгълника съ страна едно или отъ седемь макро шестоѫгълника съ страна двѣ. Рѣшения сѫществуватъ и въ двата случая: за седемь шестоѫгълника съ страна двѣ вж. фиг. 1, въ дѣсно, а за 28 шестоѫгълника съ страна едно фиг. 4.

Фиг. 4. Двадесеть и осемь шестоѫгълника съ страна едно могатъ да бѫдатъ покрити съ двадесеть и четиритѣ хептиаманти.

Красивото въ случая съ малкитѣ макро шестоѫгълници е, че броятъ имъ съотвѣтства на общата площь на тетрахексоветѣ. Формата отъ фиг. 4 може да се нареди съ тѣхна помощь по начина, показанъ на фиг. 5.

Фиг. 5. Това рѣшение отъ тетрахексове е единствено.

Колкото и елегантна да е тази връзка между хептиамантитѣ и тетрахексоветѣ, смѣтамъ, че тя е напълно случайна и нѣма нѣкакво по-дълбоко обяснение отъ чистия "капризъ на числата", който опрѣдѣля, напримѣръ, кое число да е просто и кое съставно. Провѣрка въ Онлайнъ енциклопедията на поредицитѣ отъ цѣли числа (фигурки отъ триѫгълници безъ дупки, фигурки отъ шестоѫгълници), показва, че единствената друга такава връзка е между единия дихексъ и тритѣ тетриаманта, които обаче не могатъ да се подредятъ въ формата на два слѣпени шестоѣгълника.

Макро структури сѫ възможни и при полихексоветѣ. 28-тѣ тетрахексове могатъ да се подредятъ въ четири голѣми шестоѫгълника, както е показано на фиг. 6.

Фиг. 6. Четиритѣ макро шестоѫгълника могат да бѫдатъ подредени само въ формата на посоченитѣ три тетрахекса, увеличени двойно. Първото рѣшение е уникално, за втората форма има десеть рѣшения, а за третата двѣ.

Въ малкитѣ комплекти хексове не сѫществуватъ други интересни макроструктури (отъ шестоѫгълници или триѫгълници).

Форма на Рийд-Хамлин

На сайтът на Ед Пег (http://www.mathpuzzle.com/index.html), кѫдето сѫ публикувани и събрани изключително много интересни пъзли, се намира и формата от хексиаманти с най-голѣм брой решения, открита от Майкъл Рийд (Michael Reid) и Патрик Хамлин (Patrick Hamlyn), в отговор на въпрос от Кристофър Монктън (Christopher Monckton), за чийто пъзел от квадрати и триѫгълници вече писах малко. Вече писах и за формата от пентомина с най-голѣм брой решения. Формата на Рийд-Хамлин има 14 600 решения и представена на фиг. 1.

Фиг. 1. Формата, открита от Рийд и Хамлин и за която има 14 600 решения с хексиаманти, най-големийът известен засега брой.

Както и при формата на ван де Ветеринг, впечатление прави липсата на симетрия. Припомням, че симетрията намалява общийът брой принципно различни решения, защото елеминира всички решения получени чрез завъртане или отразяване. За сведение, моята програма намери сто решения за 7,4 секунди, което означава, че намирането на всичките 14 600 решения би ѝ отнело около 20 минути. Нѣкой пѫт ще пробвам, най-малкото за да се уверѭ във верността на числото (и в способностите на програмата си).

Решения, свързани чрез симетричен участък

По-долу прилагам нѣколко примера за свързани решения, по механизъмът, който вече описах. Важните участъци сѫ в сиво.

Фиг. 2. Нѣколко взаимносвързани решения за формата на Рийд-Хамлин. Първите две решения преминават едно в друго чрез отразяване, вторите две чрез завъртане. На третийът ред е показано само едно решение, което съдържа симетричен участък с по-скоро учудващ контур и който може да бѫде отразен, за да получим ново решение.

Програмата ми явно не е толкова глупаво, за колкото ѭ имах, защо намира и симетрични участъци с дупки, като показанийът на фиг. 3.

Фиг. 3. Симетричен участък с дупка в едно от решенията за формата на Рийд-Хамлин. Отразяването му дава ново решение.

И един интересен въпрос: какъв е най-големийът възможен симетричен участък за тази форма? Отговорът изглежда е 60 триѫгълничета/10 фигурки, както съм показал на фиг. 4, получена чрез изрѣзване на несиметричните "излишъци" в изходната форма.

Фиг. 4. Най-голѣм възможен симетричен участък за Рийд-Хамлин. Това разрѣзване само по себе си дава 500 решения за цѣлата форма, които съответстват на 250 принципно различни решения за сивийът участък. Отразяването им дава 500-те за формата.

Възможни сѫ и участъци с многократна симетрия. На фиг. 5 е показан пример с четирикратна симетрия. Сивийът участък може да бѫде нареден по един единствен начин, поради което схемата води до точно четири различни решения за формата на Рийд-Хамлин.

Фиг. 5. Участък с четирикратна симетрия (и завъртане, и отразяване). Възмножно е само едно принципно решение за самийът участък, което води до четири различни за цѣлата форма.

Решения, свързани чрез замѣна на еднакви участъци

По-редки, но не по-малко интересни, сѫ решенията, които съдържат два (или повече!) участъка с еднаква форма. Това позволява участъците да се разменят и по този начин да се извеждат нови решения. За съжаление, програмата ми все още не борави съвършено с тази задача и понѣкога дава лъжливи резултати (а понѣкога може би пропуска истински, което е нѣкак си по-обезпокоително). Все пак, ето нѣколко интересни положения.

Фиг. 6. Всѣко едно от тези две решения съдържа два еднакви по форма участъка, които могѫт да бѫдѫт разменени. Горе е нужно отразяване, а долу просто завъртане 60°.

Случайно намерих и решение с три еднакви участъка. То поражда пет нови решения, чрез всички възможни пермутации на участъците.

Фиг. 7. Три еднакви участъка. Единийът е образуван от шестоѫгълникът и пѫтнийът знак (имена на фигурките), които, подредени по различен начин, дават и сивийът участък горе на фиг. 6.

Вероятно сѫществуват и участъци с четири еднакви участъци, разпределени в две различни двойки. С примери засега не разполагам, нѣмам и идея по какъв програмен пѫт да търсѭ.

Еднаквите участъци на теория могѫт да сѫ с максимален размер от шест фигурки. Заради начинът, по който е направена, моята програма може да търси само до пет. Намирала е обаче само до три фигурки, единственийът пример е показан на фиг. 8.

Фиг. 8. Еднакви участъци, съставени от три фигурки.

Именуване на фигурки

Използват се два подхода за именуване на фигурките от пъзли (polyforms): с букви от латинската азбука (това работи много добре за пентомината) или с предмети със сходна форма (това работи добре при хексиамантите). И в двата случая именуването е с висока степен на условност, поради което сѫществуват конкурентни системи (особено при хексиамантите).

Именуване на пентомината

Дванадесетте пентомина си имат имена отдавна. При тѣх традицията е да се използват букви. Сѫществуват две "традиции": едната е въведена от Голомб (в книгата му от 1965 год.) и като цѣло е добре разпространена; при неѭ се ползват буквите FILPN (препорѫчва се мнемониката FILiPiNo) и последните седем от азбуката, TUVWXYZ. Другата традиция е дело на Джон Конуей (John Conway) и ползва последните дванадесетте букви от азбуката, от O насетне: OPQR STUV WXYZ. При втората традиция приликите с буквите сѫ насилени за O и Q. Тя се използва при обсѫждане на пентомината в играта на Животът на Конуей.

Именуване на хексиамантите

За разлика от пентомината, при които има само две разпространени схеми за именуване на фигурките, положението при хексиамантите е доста по-сложно. Проследих три различни набора имена, най-вероятно свързани исторически.

Най-старите имена за хексиамантите сѫ предложени от Т. Х. О'Бърн (в рубриката за пъзели на The New Scientist от 2.XI.1961). Статията се занимава с едностранните хексиаманти (които не могѫт да се обръщат, а само да се въртѭт), затова има 19 фигурки, но огледалните образи носѭт общо име. Представил съм имената във втората колонка на табличката по-долу.

В интернет се намират двойни имена за нѣкои фигурки, като за източник отново е посочен О'Бърн. Или става въпрос за по-късна негова статия, или за грешка. Допълнителните имена съм посочил в скоби, а най-старото им споменаване намирам в статията на Мартин Гарднер, издадена след 1965 год. В неѭ се казва, че "повечето" имена сѫ измислени от О'Бърн, но нито дума за изобретельт на останѫлите!

Третата колонка съдържа имената, които се използват в играта Verhext, разпространявана в ГДП през 60-те години. Авторът е проф. Х. Хабер, годината на публикуване е 1967. Има само две съвпадения с О'Бърн -- змия и шестоѫгълник. Второто е толкова логично, че не предполага, че Хабер е знаел за имената на О'Бърн. При змията нещата изглеждат по-неясни. Допълнителното име на пѫтнийът знак при О'Бърн, а именно пистолет, сѫщо съвпада с Хабер. Но ние не знаем откѫде идват допълнителните имена. Ако Хабер беше копирал от О'Бърн, защо би променил толкова много имена?

Намерих и унгарски имена на фигурките, но те изглежда сѫ значително по-късни, защото сѫ публикувани в интернет през май 2011. Източникът им изглеждат сѫ допълнителните имена, посочени от Гарднер, но едно е като при О'Бърн (прѫт - прѫчка), а други две сѫ чисто нови (стик за голф и бумеранг). В статията се използва думата hexiamond и се обяснява произходът ѝ, което показва, че статията на О'Бърн е била известна на авторът, дали директно, дали посредством Гарднер.

Фигурка	О'Бърн O'Beirne	Хайнц Хабер Heinz Haber	Gál Péter F. (от този сайт)
	Яхта Yacht	Гребен Kamm	Платноходка Vitorlás
	Кукичка (Обувка) Hook (Shoe)	Кука Haken	Обувка Cipő
	Шестоѫгълник Hexagon	Шестоѫгълник Hexagon	Шестоѫгълник Hatszög
	Прѫт (Успоредник) Bar (Rhomboid)	Пила Feile	Прѫчка Bot
	Гега (Боздуган) Crook (Club)	Танкер Tanker	Стик за голф Golfütő
	Сфинкс Sphinx	Църква Kirche	Сфинкс Szfinx
	Корона (отхвърлено Котва) Crown (rejected Anchor)	Платноходка Segelboot	Корона Korona
	Змия Snake	Змия Schlange	Змия Kígyó
	Шеврон (Прилеп) Chevron Bat	Покрив Dach (завъртѣн)	Бумеранг Bumeráng
	Пѫтен знак (Пистолет) Signpost (Pistol)	Револвер Revolver	Пистолет Pisztoly
	Омар Lobster	Стрела Pfeil	Рак Rák
	Пеперуда Butterfly	Мелничка за пипер Pfeffermühle	Пеперуда Lepke

Общийът недостатък на този подход е, че понѣкога приликите между фигурката и предметът, който ѝ се явява "кръщелник", се виждат само при определено завъртане на фигурката. Така е например при сфинксът при О'Бърн или при покривът при Хабер. Проблемът изчезва или намалява драстично при фигурките с прост контур, като шестоѫгълникът или прѫтът (при О'Бърн), защото възприятието там не зависи от конкретното положение на фигурката.

Успешни сѫ употребите на предмети, които имаме навик да възприемаме като погледнати от горе, или за които нѣма долна и горна страна. Омарът е добър пример и формата му е добре разпознаваема както и да е завъртѣн. Танкерът, и сфинксът, обаче, сѫ примери за предмети, които разпознаваме трудно, ако не сѫ "стѫпили на краката си".

Нѣколко думи за хексиамантите

Имената на фигурките, образувани от равностранни триѫгълници, тръгват от едно наблюдение: два триѫгълника образуват ромб, който прилича на диамант. Но представката ди-, от гръцки δύο, означава две. Следователно, думата диамант, може да бѫде разсечена изкуствено на представка ди- и корен -амант, който корен може да се ползва за образуване на имената на фигурките с друг брой триѫгълници.

Така се получават имената мониамант (един триѫгълник), триамант (три триѫгълника), тетриамант (четири триѫгълника), пентиамант (пет триѫгълника), хексиамант (шест триѫгълника) и т.н. Родовото название е полиамант.

(На английски, откѫдето идват имената, те сѫ: moniamond, diamond, triamond, tetriamond, pentiamond, hexiamond и polyiamond).

Макар и да е крайно изкуствен, този подход има съответствия в естествените езици. Така например, думата отварям е образувана с представка от- и корен -вар-, идващ от старото название на гредите на вратата. Строежът на думата обаче е бил преосмислен и се е стигнѫло до разделянето о-тварям и до образуването на други думи с новийът корен, като за-тварям, при-тварям и т.н.

Най-интересните полиаманти сѫ хексиамантите, тъй като бройът им е добър (една дузина), а самите фигурки позволяват образуването на интересни форми.

Фиг. 1. Имената на фигурките, образувани от квадрати или шестоѫгълници, традиционно идват от латинките букви, на които приличат. При хексиамантите се използва именуване според нещата, на които фигурките наподобяват. За нѣкои фигурки сѫществуват различни имена, но тези които предлагам сѫ (от горе на долу и от лѣво на дѣсно): летва, боздуган, сфинкс, корона, яхта, обувка, змия, прилеп, пѫтен знак (ако е изправен), омар, пеперуда, шестоѫгълник.

Нека отбележим, че пентомината сѫщо сѫ дванадесет на брой и че това е много хубаво число, заради големийът си брой делители. Общата площ на хексиамантите е 72 и позволява образуването на форми с три- и шесткратна симетрия. Нека отбележим сѫщо така, че тази площ е точно половин гроса (дузина дузини).

Едно търсене в Гугъл ще даде много резултати за такива форми. Тук ще посочѫ само една, за пример: цвете, чиито листа сѫ несиметрични.

Фиг. 2. Форма с шесткратна симетрия, образувана от дванадесетте хексиаманта.

Твърде голѣма се оказва извънредно симетричната форма, която кръстих цвете. Нейната площ е 84, т.е. има една дузина триѫгълничета в повече, отколкото могѫт да покриѭт хексиамантите. Решението е да се пробиѭт в цветето дупки, чиято обща площ да е дванадесет. За съжаление, вариантът със звездовидна дупка нѣма решение. Възможно е обаче да групираме дванадесетте излишни триѫгълничета в два шестоѫгълника, които могѫт да се разположѫт по различни начини един спрѣмо друг. По моите изчисления, в този случай има 1442 принципно различни решения.

Фиг. 3. Невъзможното цвете с площ 84 триѫгълничета.

Нѣкои комбинации от две дупки водѭт до невъзможни конфигурации, други имат над сто решения (максимумът за една конфигурация е 17). Има и конфигурации с единствено решение. 

Фиг. 4. Невъзможна конфигурация.

Фиг. 5. Конфигурация с едно единствено решение.

Фиг. 6. Всички решения за едно от симетричните разположения на двете шестоѫгълни дупки. Забележете, че решенията на вторийът ред се отличават от тези над тѣх само по един трапец, образуван от двете фигурки омар и яхта. В сѫщото време, първото и второто решение на всеки ред се отличават помежду единствено по ориентацията на долната половина на фигурата. По този начин, петте решения се разпадат на две групи: една с четири елемента и втора с един единствен.

До тук съм посочил само примери със симетрично разположение на дупките, но повечето конфигурации сѫ асиметрични. Най-красиви ми се струват формите, в които дупките не се докосват до външнийът рѫб. Най-много решения обаче имат именно формите, които нѣмат това свойство.

Фиг. 7. Конфигурацията със 173 решения.