Паркетиране на равнината и пъзли

От нѣколко седмици насам се връщам към едни от "Математическите развлечения", с които се срещнѫх за първи пѫт в пети клас благодарение на книгата на Мартин Гарднър. Благодарѭ на хората, които сѫ ѭ превели на български и над библиотекарьт, който ѭ е осигурил в училище "Димчо Дебелянов", кѫдето учех тогава!

Тогава изрѣзвах пентомина и хексомина от тетрадки с карирани листи и ги редѣх на масичката в холът у дѣдо и баба. Днес е възможно все още да сѫ останѫли нѣкои от фигурките, между листите на стари тетрадки или в други съкровищници от онези дни.

Да припомнѭ набързо за какво става въпрос.

Когато вземем n на брой квадратчета с еднакви размери, можем да ги подредим така, че рѫбовете им да се докосват. Ако вземем само едно квадратче, получава се една фигурка, наречена мономино. Ако вземем две, пак се получава само една фигурка -- домино (от тук идва и самото окончание). С три квадратчета се получават две тримина. Така стигаме до дванадесетте пентомина, които сѫ изключително интересен комплект.

Пълнийът комплект от пентомина.

Прекрасното при този комплект е, че 12 × 5 = 60 и от фигурките могѫт да се подредѭт различни правоѫгълници: 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10. Наблизо до кѫщата, кѫдето живеехме във Варна, има блокове, чиито фасади сѫ украсени с пана от пентомина. Явно архитектът сѫщо се е радвал на тези фигурки.

Тази снимка взех от интернет. Цѣлостното излѫчване напомня за България. Когато се приберѫ във Варна това лѣто, ще снимам блоковете, които съм виждал в детството си.

Пентомината могѫт дори да бѫдѫт подредени във формата на паралелепипед с приятно съотношение на дължините на рѫбовете: 3 × 4 × 5. Това се случва, когато заместим квадратчетата с кубчета. Сѫществуват много игри, които ползват пентомина, обикновено съставени именно от кубчета. В послените три години купих два такива комплекта, но най-скѫпийът ми си остава този, който направи баща ми, когато още бѣх ученик. Тогава той беше дърводелец. Нѣкак съм успѣл да го убедѭ да отдели толкова много време и внимание, защото беше направил не само пентомина, а сѫщо и пълнийът комплект от хексомина (35 на брой) и от простраствени пентакубове (фигурки от пет кубчета, но разположени не само в равнината, както е при полиомината). Цѣлата колекция напълваше една кутия за обувки, при рѫб на кубчето около два сантиметра. Сега тези фигурки сѫ нѣкѫде във Варна, на неизвестно за мене мѣсто.

Паралелепипед, сглобен от комплектът Cayro.

Сега погледът ми е много повече привлечен от фигурките, образувани от по-сложни елементи.

Преди малко повече от месец се амбицирах да изрежѫ всичките фигурки образувани от квадрат, правоѫгълен триѫгълник с катети единица и правоѫгълен триѫгълник с катети едно и две. Пълнийът комплект може да се види на сайтът на F. Esser тук. Изработването на самийът комплект не беше трудно, заради силното присѫствие на прави ѫгли. За съжаление, сглобяването на форми от този комплект се оказа доста трудно на рѫка.

Рѫчноизработенийът ми комплект. Самата форма ѭ копирах от интернет.

След това дойде ред на пъзел, измислен от Кристофър Монктън (Christopher Monckton), ексцентричен английски благородник. Неговийът сайт вече не сѫществува, но самийът пъзел може все още да се види на сайта на Вихер, тук. Използва се мрежа от квадрати и равностранни триѫгълници, известна като "плосконос квадрат". Самите квадрати сѫ разрѣзани на два равнобедрени правоѫгълни триѫгълника. Всѣка от двадесетте фигурки се състои от четири триѫгълника (два равностранни и два правоѫгълни, или три от единийът вид и само един от другийът).

Решетката, която се използва за комплектът на Монктън. На английски това паркетиране на равнината се нарича snub square. В Уикипедия има малко информация за него.

На сайтът на Вихер има нѣколко примера за форми, образувани с този комплект. В течение на нѣколко седмици се блъсках със SVG и JavaScript, но в крайна сметка успѣх да напишѫ код, който намира решения за произволна форма. В моите чертежи квадратите сѫ разбити на четири малки равнобедрени триѫгълника. Това е само за удобство при програмирането.

Общата площ на фигурките на Монктън е 40 правоѫгълни и 40 равностранни триѫгълника. Възможни сѫ форми с много добра симетрия.

Две големи яйца. Всѣко едно съдържа точно 20 правоѫгълни и 20 равностранни триѫгълника.

Две припокриващи се големи яйца и едно малко. Общата област на големите е сѫщо малко яйце. Малкото яйце съдържа по 8 от двата вида триѫгълници. За съжаление, не е възможно да се образуват пет отделни малки яйца.

От този пъзел по естествен начин достигнѫх до така наречените петоѫгълници от Кайро (защото там имало много тротоари с такива плочки; на мен ми се струва, че и във Варна има, това лѣто ще ги издирвам). Когато центровете на квадратите и равностранните триѫгълници в мрежата "плосконос квадрат" бѫдѫт съединени, се получава мрежа от еднакви петоѫгълници, които, четири по четири, се съединяват в шестоѫгълници.

Самите пропорции на петоѫгълници от Кайро могѫт да варират, но нѣкои отношения остават константи. Два от ѫглите винѫги сѫ прави, четири от страните винѫги сѫ еднакво дълги. Ѫгълът срещу вариращата страна се движи от 90° до 270°, но в тези два крайни случая фигурата вече не е петоѫгълник.

На сѫщийът принцип, както при полиомината, могѫт да се образуват и поликайрота. В интернет има доста сайтове, на които сѫ представени различни комплекти (от монокайро до хептокайро и нагоре). Интерес за мен представляват тетракайротата, които сѫ седемнадесет на брой. Като цѣло, забелязвамъ, че оптималнийът размер на един комплект от подобни фигури е между десет и двадесет. Ако сѫ по-малко, не е интересно, ако сѫ повече, стават твърде трудни за боравене.

Всички тетракайрота. Картинката е взета от сайта на Ливио Дзука (Livio Zucca).

Както и при елементите от пъзелът на Монктън, в първийът момент ме изумява трудността да бѫдѫт запомнени различните конфигурации. Нѣкои сѫ много лесни за възприемане (първата и последната), други могѫт да бѫдѫт възприети като осакатени шестоѫгълници (последната на първийът и първата на вторийът ред). Умът, привикнѫл към ориентация в правоѫгълни мрежи, се оказва силно затруднен тук. Понятията горе/долу и лѣво/дѣсно, с помощта на които се ориентираме, сѫ неприложими. За да може човек да се ориентира в тази мрежа и да разбере и запомни формите на тетракайротата, нужна е нѣкаква концептуализация на пространството.

Съседите на един петоѫгълник.

Има две насоки за осмисляне: изхождайки от единичните петоѫгълници или от шестоѫгълниците, които те образуват четири по четири.

В случай, че искаме да се ориентираме посредством петоѫгълниците, нужни сѫ ни много повече от четирите думи, достатъчни за ориентрация в квадратна мрежа (горе/долу, лѣво/дѣсно): петоѫгълникът A се намира в уникално отношение спрѣмо жълтийът петоѫгълник. За него трѣбва дума, която нѣма антоним, или поне нѣма симетричен антоним, предполагащ огледалност. Всички останѫли петоѫгълници се разпределят в двойки: B - C, D - E, P - Q. Значи трѣбват три двойки симетрични/огледални думи. В крайна сметка, нужни сѫ общо седем думи. За моментът, да използваме съставни думи. Спрѣмо жълтийът петоѫгълник, другите се намират както следва:
A - направо;
B - направо-дѣсно;
C - направо-лѣво;
D - обратно-дѣсно;
E - обратно-лѣво;
P - надѣсно;
Q - налѣво.
Следването на една и сѫща посока в квадратна мрежа ни прекарва по прави линии (надолу-надолу-надолу...). Тук този обход ни кара да се въртим в крѫг: тръгвайки от жълтийът петоѫгълник и следвайки посока винѫги направо, ще прескачаме безкрайно между него и A. С посока винѫги направо-дѣсно пък ще се въртим в четворката жълт-B-P-D.

Какво ще се получи, ако се ориентираме по шестоѫгълниците? Нужно е, от една страна, да ситуираме петоѫгълниците в шестоѫгълниците, от друга, да ситуираме шестоѫгълниците един спрѣмо друг.

Ориентация, изхождаща от шестоѫгълниците. Системата е напълно симетрична, но сѫ нужни десет думи.

Защо човекът ползва само симетрични системи за ориентация? Заради анатомията му, безспорно. Ходим по земята, затова за нас има горе и долу; имаме две симетрично разположени рѫце, затова за нас има дѣсно и лѣво; имаме очи само от едната страна на тѣлото, затова за нас има напред и назад. За посоките на светът ползваме четири думи -- север, юг, изток и запад. Но в естонскийът и финскийът имат осем думи. Ще дам пример с естонски, защото думите там сѫ по-кратки, започвайки от север и въртейки се по посока на часовниковата стрелка: põhi, kirre, ida, kagu, lõuna, edel, lääs, loe.

Пчелите има тѣло със сѫщийът вид симетрия, като нашето, но строѭт килийки, които сѫ шестоѫгълни и разположени по съответнийът начин. Ако можехѫ да говорѭт, бихѫ ли имали шест думи за посоките в шестоѫгълна мрежа? Или, казано по по-човешки начин, как бихѫ се ориентирали жителите на град с улици във формата на шестоѫгълна мрежа (мечтата на Валтер Кристалер)? "Вървете по тази улица и, когато стигнете до църквата, завийте на..."? Решение, и то за проблемът е пространството, а не просто в равнината, навѣрно се съдържа в терминологията на кристалографите.

Макар и тук да е нарѣзана на квадратни парчета, пчелната пита се състои от шестоѫгълници.

NALDO е името на мрежата от средства за обществен транспорт в юго-западна Германия. Картата е разделена на шестоѫгълници, като всеки един има нещо като централен град. Това навѣрно е свързано с моделът на Кристалер.

Всички тези въпроси сѫ интересни, но да се върнем към комплектът от седемнадесет тетракайрота. Понеже един шестоѫгълник е съставен от четири петоѫгълника, както и всѣко тетракайро, човек би могъл да се надѣва комплектът да може да покрива форми, съставени от седемнадесет шестоѫгълника. За съжаление, това е невъзможно. Невъзможни сѫ каквито и да е симетрични форми, в които участват всичките тетракайрота. Ако обаче оставим настрана едно от тетракайротата, сѫществуват хиляди начини да бѫде покрит ромб с рѫб от четири шестоѫгълника.

Едно от решенията за ромбът с рѫб от четири шестоѫгълника. Едно от тетракайротата не е използвано.

Ливио Дзука е доказал, че симетрични форми не могѫт да се образуват и с 55-те пентакайрота. Много тѫжно.