Форма на Рийд-Хамлин

На сайтът на Ед Пег (http://www.mathpuzzle.com/index.html), кѫдето сѫ публикувани и събрани изключително много интересни пъзли, се намира и формата от хексиаманти с най-голѣм брой решения, открита от Майкъл Рийд (Michael Reid) и Патрик Хамлин (Patrick Hamlyn), в отговор на въпрос от Кристофър Монктън (Christopher Monckton), за чийто пъзел от квадрати и триѫгълници вече писах малко. Вече писах и за формата от пентомина с най-голѣм брой решения. Формата на Рийд-Хамлин има 14 600 решения и представена на фиг. 1.

Фиг. 1. Формата, открита от Рийд и Хамлин и за която има 14 600 решения с хексиаманти, най-големийът известен засега брой.

Както и при формата на ван де Ветеринг, впечатление прави липсата на симетрия. Припомням, че симетрията намалява общийът брой принципно различни решения, защото елеминира всички решения получени чрез завъртане или отразяване. За сведение, моята програма намери сто решения за 7,4 секунди, което означава, че намирането на всичките 14 600 решения би ѝ отнело около 20 минути. Нѣкой пѫт ще пробвам, най-малкото за да се уверѭ във верността на числото (и в способностите на програмата си).

Решения, свързани чрез симетричен участък

По-долу прилагам нѣколко примера за свързани решения, по механизъмът, който вече описах. Важните участъци сѫ в сиво.

Фиг. 2. Нѣколко взаимносвързани решения за формата на Рийд-Хамлин. Първите две решения преминават едно в друго чрез отразяване, вторите две чрез завъртане. На третийът ред е показано само едно решение, което съдържа симетричен участък с по-скоро учудващ контур и който може да бѫде отразен, за да получим ново решение.

Програмата ми явно не е толкова глупаво, за колкото ѭ имах, защо намира и симетрични участъци с дупки, като показанийът на фиг. 3.

Фиг. 3. Симетричен участък с дупка в едно от решенията за формата на Рийд-Хамлин. Отразяването му дава ново решение.

И един интересен въпрос: какъв е най-големийът възможен симетричен участък за тази форма? Отговорът изглежда е 60 триѫгълничета/10 фигурки, както съм показал на фиг. 4, получена чрез изрѣзване на несиметричните "излишъци" в изходната форма.

Фиг. 4. Най-голѣм възможен симетричен участък за Рийд-Хамлин. Това разрѣзване само по себе си дава 500 решения за цѣлата форма, които съответстват на 250 принципно различни решения за сивийът участък. Отразяването им дава 500-те за формата.

Възможни сѫ и участъци с многократна симетрия. На фиг. 5 е показан пример с четирикратна симетрия. Сивийът участък може да бѫде нареден по един единствен начин, поради което схемата води до точно четири различни решения за формата на Рийд-Хамлин.

Фиг. 5. Участък с четирикратна симетрия (и завъртане, и отразяване). Възмножно е само едно принципно решение за самийът участък, което води до четири различни за цѣлата форма.

Решения, свързани чрез замѣна на еднакви участъци

По-редки, но не по-малко интересни, сѫ решенията, които съдържат два (или повече!) участъка с еднаква форма. Това позволява участъците да се разменят и по този начин да се извеждат нови решения. За съжаление, програмата ми все още не борави съвършено с тази задача и понѣкога дава лъжливи резултати (а понѣкога може би пропуска истински, което е нѣкак си по-обезпокоително). Все пак, ето нѣколко интересни положения.

Фиг. 6. Всѣко едно от тези две решения съдържа два еднакви по форма участъка, които могѫт да бѫдѫт разменени. Горе е нужно отразяване, а долу просто завъртане 60°.

Случайно намерих и решение с три еднакви участъка. То поражда пет нови решения, чрез всички възможни пермутации на участъците.

Фиг. 7. Три еднакви участъка. Единийът е образуван от шестоѫгълникът и пѫтнийът знак (имена на фигурките), които, подредени по различен начин, дават и сивийът участък горе на фиг. 6.

Вероятно сѫществуват и участъци с четири еднакви участъци, разпределени в две различни двойки. С примери засега не разполагам, нѣмам и идея по какъв програмен пѫт да търсѭ.

Еднаквите участъци на теория могѫт да сѫ с максимален размер от шест фигурки. Заради начинът, по който е направена, моята програма може да търси само до пет. Намирала е обаче само до три фигурки, единственийът пример е показан на фиг. 8.

Фиг. 8. Еднакви участъци, съставени от три фигурки.