Класификация на решенията за една форма от тетрахексове

Поправка от 19 юли 2019. След откриване на една трансформация, която свръзва решения 24 и 8, предишните групи II и IV се сливат в настоящата група I. Нѣколко групи сѫ преименувани.

Вече писах за класификацията на решенията за правоѫгълникът 6 × 10 от пентомина, разработена от Хансен. С помощта на компютърна програма той показва, че 2339-те решения могѫт да бѫдѫт разделени в 911 класа, най-големийът от които има 50 елемента, а най-малките само по един. В рамките на всеки клас решенията могѫт да бѫдѫт трансформирани едно в друго с помощта на три операции: (1) разместване на положението само на две фигурки; (2) разменяне на местата на два участъка от решението (които имат еднаква форма); (3) симетрична операция върху подредбата на един участък.

Реших да проведѫ аналогичен анализ на решенията на по-проста форма, образувана със седемте тетрахекса, които сѫ показани на фиг. 1.

Фиг. 1. Седемте тетрахекса и имената им на български.

Подбрах форма, която има относително много решения, за да има какво да се класифицира. Показана е на фиг. 2 и може да се нарече Артишок. Има общо 30 решения, без да броим симетричните (които се получават чрез отразяване спрѣмо оста на симетрия).

 

Фиг. 2. Артишокът има 30 несиметрични решения.

При анализът се оказа, че има само едно прилагане на трансформация (2) по Хансен, която е размѣна на еднакви по форма участъци. Всички останѫли трансформации съответстват на (3) по Хансен, а именно симетрична операция върху подредбата на участък. Често участъците сѫ с размер само две фигурки, но тъй като сѫ симетрични не може да се говори за трансформация от тип (1). 

Решенията се разпадат на осем групи, най-голѣмата от които съдържа единадесет решения, а трите най-малки -- само по едно.  Нека отбележим, че при това положение най-голѣмата група поражда повече от една трета от всички решения. 

Фиг. 3. Решения 27 и 26 се превръщат в 23 и 25, и обратното, чрез завъртане не участък състоящ се от четири фигурки, т.е. повече от половината от общийът брой. Трансформацията между 7-10 и 8-9 се състои в завъртане на блок от пет тетрахекса, отбелѣзан в червено. Решение 24 има два частично застѫпващи се участъка, които осигуряват връзката между шестте решения в лѣво и четирите в дѣсно. Гредата остава неподвижна.

Допълнение от 12 юли 2019. В рамките на група II сѫществува още една трансформация, която свръзва решения 23 и 27. Става въпрос за размѣна на два участъка с еднакви очертания, както е показано на фиг. 3Б. В конкретнийът случай тази трансформация е с резултат, еквивалентен на завъртането на двата участъка заедно.

Фиг. 3Б. Двата участъка с еднаква форма сѫ оцветени в сиво и жълто. Разменянето им е еквивалентно на завъртане на целийът оцветен участък от четири фигурки.

На фиг. 4 сѫ показани решенията от група II. И тук единствено гредата остава неподвижна. 

Фиг. 4. Група II за Артишокът -- седем решения. Гредата е единствената неподвижна фигурка в тази група. Решения 19 и 20 могѫт да бѫдѫт доведени до 21, което, от своя страна, се обръща в 28 след четири трансформации.

Следващите четири групи сѫ по-малки, а последните три, съдържащи само по едно решение, сѫ представени заедно. Струва си да се отбележи, че единствено в група IV гредата не е разположена по периферията на артишокът.

Фиг. 4. Група III съдържа пет решения.

Фиг. 6. Групи IV  и V съдържат симетричен участък "капка", изграден по два различни начина. Група IV е уникална заради разположението на гредата, в средата на артишокът.

Фиг. 7. Трите решения, които образуват самостоятелни групи. 5 и 22 съдържат симетрични участъци, но със симетричен вѫтрешен строеж, поради което отразяването им не води до нови решения. Решение 15 е уникално сред всичките 30 решения с това, че не съдържа нито един симетричен участък, изграден от повече от една фигурка.

В сбит вид информацията за групите може да се представи в следната табличка:

Групи	Решения	Брой трансформации	Бележка
Ι	7, 8, 9, 10, 16, 17, 19, 20, 21, 28, 29	10	Единствена с размѣна на еднакви по контур участъци (вж. фиг. 3Б).
ΙI	11, 12, 23, 24, 25, 26, 27	6
ΙII	2, 3, 4, 6, 18	4
IV	0, 1	1	Единствена с разположение на гредата вѫтре в артишокът.
V	13, 14	1
VI	5	-
VII	22	-
VIII	15	-	Единствена без нито един симетричен участък, съставен от повече от една фигурка.

Допълнение от 19 юли 2019. Групите от решения могѫт да се представѭт като графове, в които премахваме самите изображения и оставяме само номерата. Всѣка трансформация е ребро на графът. Между нѣкои върхове сѫществуват повече от едно ребра, което е отбелѣзано с числото 2 на фиг. 8.

Фиг. 8. Всички групи представени като граф.

Макар и това да се дължи в не малка степен на пространствената подредба на отделните групи, безспорно ми се струва, че фиг. 8 притежава естетическа стойност, напомняйки за карта на звездното небе, с отбелѣзани съзвездия. Би било интересно да се разработи критерий, по който да се определят ѫглите между ребрата, независимо дали имат общ връх или не. Ребрата между двойките 11 - 12, 26 - 27 и 23 - 25 трѣбва да сѫ успоредни, защото става въпрос за една и сѫща трансформация. Наличието на ребра между еднакви върхове предполага, че ребрата не трѣбва да сѫ прави, а например дѫги от окрѫжност: тогава ѫглите между двете връзки 23-27 и останѫлите ще могѫт да сѫ различни. Принципно различен подход би бил да се дадѫт координати на всѣко решение и ребрата да се начертаѭт както дойде.