Макроструктури въ пъзлитѣ отъ рода на пентомината и хексиамантитѣ

Въ търсене какво да се реди съ пъзлитѣ на рода на пентомината и хексиамантитѣ, първата идея, която хрумнала, била за прости форми съ симетрична форма, като най-симетричнитѣ форми сѫ най-престижни. Така напримѣръ, отъ пентомината се редятъ правоѫгълници, защото квадратитѣ сѫ невъзможни съ 60 квадратчета. Възможенъ е квадратътъ 8 × 8 съ дупка 2 × 2 точно въ центъра, но формитѣ съ дупка сѫ второразрядни. При хексиамантитѣ е невъзможна фигура съ шесть оси на симетрия, но пъкъ голѣма популярность има форма, която може да бѫде завъртѣна шесть пѫти на по 60° (вж. фиг. 1, въ лѣво). Едностраннитѣ хексиаманти, за които сѫществува форма съ шесть оси на симетрия, сѫ изслѣдвани дори по-рано отъ самите хексиамантитѣ, най-вѣроятно именно поради наличието на тази форма (вж. фиг 1, въ срѣдата). При хептиамантитѣ такава форма сѫщо сѫществува и сѫщо е популярна (фиг. 1, въ дѣсно). 

Фиг. 1. Формата въ срѣдата нѣма дупка, дебело очертаниятъ шестоѫгълникъ е участваща въ пъзела фигурка.

Слѣдъ като се провѣри осѫществимостьта на разнообразнитѣ симетрични форми, правятъ се опити въ областьта на макроструктуритѣ, за които искамъ да говоря: редятъ се форми, които сѫ съставени отъ голѣми блокове, които сѫ на свой редъ по възможность симетрични. Така напримѣръ, при фигуркитѣ съставени отъ квадрати се пробватъ форми, съставени отъ по-голѣми квадрати. Желателно е да се използватъ всички фигурки отъ набора, но това не винаги е възможно. Пентомината могатъ да образуватъ максимумъ петь голѣми квадрата съ страна три и обща площь 45 квадратчета. Тази задача се нарица трипликация или, казано по-просто, утрояване (фиг. 2).

Фиг. 2. Примѣръ за утрояване на пентомино, взетъ отъ сайта https://www.cimt.org.uk/resources/puzzles/pentoes/penttrip.htm.

Нѣщата ставатъ особено интересни при фигуркитѣ съставени отъ триѫгълници и шестоѫгълници. Да вземемъ за примѣръ хексиамантитѣ. Тѣхната обща площь е 72 триѫгълничета, но 72 = 6 × 12 = 24 × 3, слѣдователно трѣбва да се пробватъ форми, съставени отъ дванадесеть шестоѫгълника съ страна едно или отъ три шестоѫгълника съ страна двѣ. Оказва се, че и двѣтѣ възможности сѫ осѫществими, както се вижда по-долу.

Фиг. 3. Горната форма е съставена отъ дванадесеть шестоѫгълника съ страна едно, а долната отъ три със страна двѣ. 

Формитѣ, образувани отъ тритѣ голѣми шестоѫгълника, обаче, сѫ чисто и просто тритѣ трихекса. Така се появява една връзка между фигурки отъ триѫгълници и отъ шестоѫгълници, въ което нѣма нищо изненадващо, защото един шестоѫгълникъ може да бѫде разложенъ на шесть триѫгълника.

Нѣщата ставатъ още по-интересни при хептиамантитѣ, защото тамъ се появава връзка отъ по-високо ниво. Фигуркитѣ сѫ 24, всѣка състояща се отъ седемь триѫгълничета, което дава обща площь отъ 168 (колкото часоветѣ въ една седмица). Но 168 = 6 × 28 = 24 × 7, което означава, че трѣбва да се провѣрятъ форми съставени отъ 28 макро шестоѫгълника съ страна едно или отъ седемь макро шестоѫгълника съ страна двѣ. Рѣшения сѫществуватъ и въ двата случая: за седемь шестоѫгълника съ страна двѣ вж. фиг. 1, въ дѣсно, а за 28 шестоѫгълника съ страна едно фиг. 4.

Фиг. 4. Двадесеть и осемь шестоѫгълника съ страна едно могатъ да бѫдатъ покрити съ двадесеть и четиритѣ хептиаманти.

Красивото въ случая съ малкитѣ макро шестоѫгълници е, че броятъ имъ съотвѣтства на общата площь на тетрахексоветѣ. Формата отъ фиг. 4 може да се нареди съ тѣхна помощь по начина, показанъ на фиг. 5.

Фиг. 5. Това рѣшение отъ тетрахексове е единствено.

Колкото и елегантна да е тази връзка между хептиамантитѣ и тетрахексоветѣ, смѣтамъ, че тя е напълно случайна и нѣма нѣкакво по-дълбоко обяснение отъ чистия "капризъ на числата", който опрѣдѣля, напримѣръ, кое число да е просто и кое съставно. Провѣрка въ Онлайнъ енциклопедията на поредицитѣ отъ цѣли числа (фигурки отъ триѫгълници безъ дупки, фигурки отъ шестоѫгълници), показва, че единствената друга такава връзка е между единия дихексъ и тритѣ тетриаманта, които обаче не могатъ да се подредятъ въ формата на два слѣпени шестоѣгълника.

Макро структури сѫ възможни и при полихексоветѣ. 28-тѣ тетрахексове могатъ да се подредятъ въ четири голѣми шестоѫгълника, както е показано на фиг. 6.

Фиг. 6. Четиритѣ макро шестоѫгълника могат да бѫдатъ подредени само въ формата на посоченитѣ три тетрахекса, увеличени двойно. Първото рѣшение е уникално, за втората форма има десеть рѣшения, а за третата двѣ.

Въ малкитѣ комплекти хексове не сѫществуватъ други интересни макроструктури (отъ шестоѫгълници или триѫгълници).

Тетрахекс-89

За тетрахексовете, втората форма по брой решения ще наричам тетрахекс-89, или дори ТХ-89. Вече споменах за неѭ, но без да се впускам в подробности. След като приспособих програмата си, за да разпределя сама решенията във фигури, станѫ възможно да разгледам по-отблизко и тази форма. В случайът е интересно да се опитаме да разберем как шампионът при тетрахексовете успѣва да надвие над ТХ-89.

Фиг. 1. Тетрахекс-89.

Изготвих диаграма, която представя всички решения, но без да ги показва. Всѣка точка на фиг. 2 представлява едно решение, а връзките сѫ трансформации. Връзките с посока сѫ ротации на 120° по часовниковата стрелка. Те сѫ възможни единствено при наличие на участък с три оси на симетрия, освен централната симетрия (повечето участъци с централна симетрия имат само една ос на симетрия, поради което е възможна ротация само на 180°, трансформация, която наричах завъртане; липсата на централна симетрия, но наличие на осева, води до възможност за трансформацията отразяване, която е най-често срещаната). Когато за две решения съществуват две различни трансформации, които ги превръщат едно в друго, това е отбелѣзано с цифрата 2 върху връзката (става въпрос за размѣна на подучастъци на участък, който си има симетрия; двете трансформации се оказват еквивалентни).

Фиг. 2. Отношения между решенията за ТХ-89. За добра четимост на числата, трѣбва да се кликне на картинката.

Какви наблюдения могѫт да се направѭт въз основа на диаграмата? Най-напред, изолираните решения сѫ повече, отколкото при ТХ-120, а именно 11 срещу 8. Най-голѣмата група обаче е с по-малка мощност (16 срещу 29 при ТХ-120). Както и при ТХ-120, сѫществува само една група с участък, който може да се върти на 120°, но при ТХ-120 този участък сѫществуваше в две различни разновидности. При ТХ-89 той води до групата долу в дѣсно на диаграмата, която съдържа нещо като триѫгълна призма включваща шест решения, към която се прикачват две разклонения, едното кѫсо и съдържащо само едно решение (16), а другото нишковидно, от две решения (8 и 85). Най-голѣмата (16 реш.) и втората (10 реш.) групи съдържат трансформации, които не водѭт до нови решения, а образуват квадратите с пресечени диагонали. На всичкото отгоре, в групата с 10 решения имаме двойни връзки, което сѫщо е загуба на потенциални нови решения. 

Да разгледаме по-отблизо нѣкои елементи от диаграмата.

В група I (горнийът лѣв ѫгъл на диаграмата) имаме първи квадрат с пресечени диагонали. Той се дължи на участъкът, представен на фиг. 3, и който има две оси и център на симетрия.

Фиг. 3. Участъкът, чиито три трансформации пораждат само четири решения.

Резултатът от последователното прилагане на двете отражения около осите обаче е еквивалентен на отразяването около центърът на симетрия. Така вместо 2³ имаме 2⁴ решения, породени от този участък.

В група II (долу в лѣво на общата диаграма) имаме различна ситуация, съответстваща на другийът квадрат с диагонали в диаграмата на фиг. 2.

Фиг 4. Сивийът и жълтийът участъци могѫт да се разменѭт. Въпреки че и двата имат осева симетрия, единствено жълтийът поражда нови решения при завъртане.

Ако жълтийът участък на фиг. 4. сѫщо имаше несиметричен вѫтрешен строеж, конфигурацията щеше да поражда 8 решения, положение, което присѫстваше в ТХ-120.

Ред е на група III, която съдържа участъкът с три оси на симетрия. Нека отбележим, че при наличие на повече от една ос на симетрия, пресечната им точка е център на симетия. Затова един участък може да породи 1, 2, 4 или 6 различни решения, без промѣна във вѫтрешнийът си строеж.

Решаващ в случайът се явява вѫтрешнийът строеж на участък, който присѫтства в решенията както на ТХ-89, така и на ТХ-120, и който съм показал на фиг. 5.

Фиг. 5. Участъците с три оси на симетрия в решенията на ТХ-89 и ТХ-120.

Решаща е сивата част, която при ТХ-89 е вѫтрешно симетрична и отразяването ѝ не води до промѣна, докато при ТХ-120 е обратното. Поради тази особеност ТХ-89 губи шест решения.

Ако обобщим изводите за трите най-големи групи при ТХ-89, загубата на потенциални решения е 4 + 4 + 6 = 14. Без тези загуби, ТХ-89 щеше да се казва ТХ-112 и от ТХ-120 щѣхѫ да ѭ делѭт само осем решения.

Искам да обърнѫ внимание и на звездовидната група от четири решения в най-долнийът десен ѫгъл на общата диаграма. За разлика от съседната ѝ квадратна група, в неѭ работѭт три трансформации, т.е. с една повече, но несъвместими помежду си: става въпрос за три частично застѫпващи се симетрични участъка.

Фиг. 6. Три частично застѫпващи се симетрични участъка в звездовидната група. Общата и за трите фигурка е отбелѣзана в жълто (Пчела).

Ако два участъка не се застѫпвахѫ или единийът застѫпваше другийът напълно, групата щеше да съдържа пет решения; ако нито два от трите участъка не се застѫпвахѫ частично, решенията щѣха да сѫ осем и да образуват куб в диаграмата.

Форма от тетрахексове с най-много решения

Вече на нѣколко пѫти писах за форми с най-много решения за определен комплект от фигурки (пентомина и хексиаманти). И в двата случая става въпрос за набори от дузина фигурки и за форми с брой решения от пети порядък (10⁵). Когато пуснѫх програмата си да проверява формата на Рийд-Хамлин (за хексиамантите), откриването на 14 600-те решения ѝ отне малко над 20 минути. Ясно е, че нѣма как да правѭ експерименти в това поле, нито пък с набори от повече фигурки, като например хептиамантите. Реших обаче да си поиграѭ с тетрахексовете, които макар и да сѫ само седем, образуват интересни форми.

Наборът от фигурки може да бѫде видѣн тук. 

Избран бе методът на... налучкването. Допуснѫх, че, както е при пентомината и при хексиамантите, формата трѣбва да е сбита и несиметрична. Първото ми предположение се оказа и най-успешното, защото и така не можах да надминѫ 120 решения, които се получават при формата на фиг. 1.

Фиг. 1. Форма със 120 решения, най-доброто, което успѣх да постигнѫ. Вторийът резултат е 89 решения, с преместване на стърчащото шестоѫгълниче на една позиция надолу и в дѣсно.

Тръгнѫх от резултатите от машиннийът анализ на решения и с доста търпение и взиране стигнѫх до следните резултати относно класификацията им:

Група	Брой решения	Брой трансформации
I	29	16* (11* отразявания, 3* завъртания и 2 размени)
II	15	8 (5 отразявания, 2 размени и 1 завъртане)
III	9	9* (6* отразявания, 2* завъртания и 1 размѣна)
IV	7	6* (отразявания)
V	7	6* (отразявания)
VI	5	4 (отразявания)
VII	5	4 (3 отразявания и 1 завъртане)
VIII	5	3 (отразявания)
IX	5	3 (отразявания)
X	3	2 (отразяване и завъртане)
XI	3	2 (отразявания)
XII	3	2 (отразявания)
XIII	2	1 (отразяване)
XIV	2	1 (отразяване)
XV	2	1 (отразяване)
XVI	2	1 (отразяване)
XVII	2	1 (отразяване)
XVIII	2	1 (отразяване)
XIX	2	1 (отразяване)
XX	2	1 (отразяване)
XXI - XXVIII	1	0

Представянето на групите ще започнѫ от долната част на таблицата. Отбелѣзаните със * числа ще бѫдѫт коментирани по-долу.

Независими решения

Те сѫ едва осем, което прави 1/15 или 7% от всички възможности. N° 79 съдържа симетричен участък, който се отразява в самийът себе си. Нѣма как и иначе да бѫде, разбира се, защото ако участъкът не беше с вѫтрешна симетрия, щеше да доведе до свързано решение.

Фиг 2. Осемте решения, които не сѫ свързани с никое друго.

Двойки решения

Те сѫщо сѫ осем. Във всички случаи става въпрос за отразяване на участък, съставен най-често от две фигурки.

Група XX.

Група XIX.

Група XVIII.

Група XVII.

Група XVI.

Група XV.

Група XIV.

Група  ΧΙΙΙ.

Фиг. 3. Единствено групи XV и XVII използват трансформация на участък с повече от две фигурки, като всеки пѫт има подучастък със симетрична форма, но който не може да бѫде въртѣн независимо поради вѫтрешната си симетрия. В половината случаи променящийът се участък е съставен от Вълна + Червей.

Би могло да се зададе следнийът въпрос: какво точно е една трансформация? Две различни трансформации ли сѫ използвани в групи XVI и XIX, при положение, че става въпрос за участъци с еднакви очертания? Струва ми се редно тези две завъртания да бѫдѫт различавани, защото ако решим да дефинираме участъкът само с очертанията му, би излѣзло, че и отбелѣзаните в жълто участи в групи XIII и XX подлежѫт на трансформация. Така всички двойки решения се получават с общо пет различни трансформации, една от които се използва четири пѫти, другите по веднѫж.

Група XVII представлява интерес, защото съдържа симетричен участък, по-голѣм от оцветенийът (ако добавим Гредата). Да, но завъртането на този уголемен участък не би променило положението на Гредата, ето защо тя не се включва в трансформацията.

Тройки решения

И в трите групи има едно решение, върху което могѫт да бѫдѫт приложени две различни трансформации, но върху застѫпващи се участъци. Поради тази причина прилагането на едната трансформация блокира другата и общийът брой решение е не четири, а три. 

Група XII.

Група XI.

Група X.

Фиг. 4. Централното решение, върху което сѫ възможни две трансформации, не е оцветено.

Интересно е, че една от двете трансформации винѫги е отразяване на съчетанието Вълна + Червей, което вече видѣхме четири пѫти в двойните решения. Срещаме и първото завъртане, в група X, която притежава участък с централна симетрия.

Петорки решения

Ако в нѣкоя от предните три групи двете трансформации не засѣгахѫ застѫпващи се участъци, щѣхме да имаме и групи с четири члена. Нещата обаче не стоѭт така и бройът групи от пет решения е по-голѣм от бройът групи с три решения.

Група IX.

Група VIII.

Група VII.

Група VIII.

Фиг. 5. Петорки решения. Нито един случай на участък Вълна + Червей.

Както добре се вижда от картинките на фиг. 5, петорките решения се разпадат на два подтипа: с три трансформации (групи IX и VIII) и с четири трансформации (VII и VIII). Вторийът подтип всѫщност е по-прост: след прилагането на една трансформация става възможно прилагането само на една друга. Получава се верига от трансформации, която обаче не е циклична.

Другийът подтип е по-интересен, защото при него две трансформации върху незастѫпващи се участъци водѭт до четворки решения (представени в квадрат), върху едно от които може да се приложи трета трансформация (представена встрани).

Седморки решения

Тези две групи дават общо 14 решения, което е повече от 10% от общийът брой.

Група V.

Група IV.

Фиг. 6. И при двете седморки се наблюдават големи участъци (в сиво) със симетрични подучастъци (в жълто).

И двете групи функционират по следнийът начин: решенията съдържат голѣм симетричен участък, който съдържа на свой ред два симетрични подучастъка, които се застѫпват помежду си. В рамките на големийът участък, двата малки дават три решения, както вече видѣхме при групи X-XII. Самийът той обаче може да бѫде отразен, което удвоява решенията, към които се прибавя още едно, разрушаващо симетрията на големийът участък.

Поради причините, посочени по-горе, всѣка промѣна на вѫтрешната структура на големийът участък ни принуждава да броим отразяването му като нова трансформация. Ето защо и двете групи имат 6, а не 4 трансформации, колкото бихѫ се получили ако не обръщаме внимание на строежът на големийът участък.

Деветорка решения

Само една група дава девет решения, които представляват 7,5% от общийът брой, повече отколкото всички независими решения взети заедно.

Фиг. 7. Група III, единствената деветорка от решения и появата на първата размѣна на еднакви участъци (трансформация между решения 93 и 98; участъците сѫ показани само за 93).

Група III съчетава две стратегии за получаване на четворки решения: незастѫпващи се симетрични участъци (както при петорките VIII и IX) и симетричен участък в симетричен участък (седморките притежаваха два застѫпващи се участъка в голѣм, което даваше шесторки решения). Първата конфигурация се наблюдава при решения 61, 59, 95, 93, а втората при 98, 57, 90 и 78. Във вторийът случай пак трѣбва да броим три вместо две трансформации, защото отразяването на големийът участък е различно според позицията на подучастъкът. Към това трѣбва да се добавѭт и две завъртания на големийът участък, които свързват 98 със 78 и 90 с 57.

Към тези седем трансформации се добавят още две: едната е отразяването, което свръзва решения 60 и 61, а другата е размѣната на еднакви участъци между 93 и 98. Последната служи за връзка между двете четворки.

Петнадесеторка решения

Тази група съдържа 1/8 или 12,5% от всички решения. Свързаността между решенията е усложнена, което се отразява и на диаграмата, представена на фиг. 8.

Фиг. 8. Всички връзки между решения сѫ показани с черни линии.  Общийът за 89 и 91 участък не е оцветен по специален начин.

Сложността на изображението идва от осморката решения 101, 102, 19, 20, 96, 47, 97, 46, която образува куб. Това се дължи на три трансформации, които могѫт да бѫдѫт прилагани независимо една от друга: две завъртания на участъците с форма на капка (единийът съставен от Пистолет + Арка, оцветен винѫги в жълто, другийът от Пчела + Червей, винѫги в сиво), и размѣната на тези два участъка един с друг. В пет от осемте върха на този виртуален куб се образуват по-големи симетрични участъци. Завъртането на всеки един от тези големи участъци разрушава само едната капка и отразяването на другата създава допълнителна връзка между решенията (18 и 105, най-влѣво, 103 и 104 най-горе и 91 и 70 вѫтре). Към тези общо 6 трансформации (три в кубът и трите отразявания на големи симетрични участъци; завъртането на "оцелѣлата" капка не е нова трансформация) се добавя възможността за размѣна на два участъка в решение 97, което води до 89, както и завъртането на един симетричен участък, общ за 89 и 91 (Перка + Червей + Пистолет), и общо осем трансформации.

Група с най-много решения

Обхващайки почти една четвърт от всички решения, група I е с най-сложна геометрия, както е видно от фиг. 9.

Фиг. 9. Трансформациите, които свръзват нѣкои решения, не сѫ отразени с черти. Става въпрос за четворката 27, 42, 35, 41 и за двойките 31 и 24 и, по-долу, 1 и 5. Трансформацията между 31 и 1 е отбелѣзана встрани от свързващата ги черта.

Групата може да бъде мислена като съставена от две подгрупи, едната отразена с четири вписани квадрата в горната част на фиг. 9, а другата с дванадесетоѫгълникът в долната част. Към дванадесетоѫгълникът трѣбва да се свърже реш. 66, в долнийът лѣв ѫгъл, а към квадратите двойката реш. 24 и 31. Връзката между двете подгрупи се осѫществява посредством двете решения 1 и 5.

Анализът на първата подгрупа е по-лесен. Тя се състои от три свързани в триѫгълник куба. Първийът е образуван на сѫщийът принцип както в група II: два еднакви и взаимозаменяеми участъка, образувани от Вълна + Пчела (сиво) и Пистолет + Арка (жълто), търпѭт поотделно по едно отразяване (решения 27, 42, 35, 41, 28, 26, 34 и 25). Този първи куб има обща стена с друг куб, образуван от три трансформации: завъртане на съчетанието Пистолет + Арка и на две други фигури, една от които напълно обхваща предната, а другата, по-малка, която не се застѫпва с неѭ (решения 28, 26, 34, 25, 4, 7, 3 и 6). Третийът куб има обща стена с вторийът (реш. 3, 34, 25 и 6) и общ рѫб с първийът (34 и 25). В подгрупата действат общо шест трансформации, една от които размѣна.

Нещата сѫ по-заплетени при втората подгрупа, защото тя се основава на форма от три фигурки, която има три оси на симетрия, плюс централна симетрия. За тази форма приемам само две трансформации: завъртане на 120° по посока на часовниковата стрелка и отразяване спрѣмо вертикалната ос на симетрия. Тъй като самата форма търпи трансформация на вѫтрешнийът си строеж, горните трансформации трѣбва да се удвоѭт. Така и в тази подгрупа действат общо пет трансформации.

Ако сведем диаграмите до граф, в който е отбелѣзан просто номерът на всѣко решение, подгрупата съответстваща на дванадесетоѫгълникът ще придобие видът представен на фиг. 10.

Фиг. 10. Подгрупа на дванадесетоѫгълникът. Стрелките съответстват на завъртания.

Трансформацията завъртане, за разлика от всички останѫли, не се анулира при повторение. Това е така, защото формата има тройна симетрия.

Геометрично представяне на връзките между решенията

Както станѫ очевидно от разнообразните фигури, връзките между решенията се поддават на лесна геометрична интерпретация. Единствено изключение е подгрупата на дванадесетоѫгълникът, която остава трудна за възприемане. Всички трансформации, чието двойно прилагане води до анулиране, могѫт да бѫдѫт изобразявани като вектори, чиито представители образуват ребрата на паралелепипеди. Четворките решения, свързани от две трансформации, се превръщат в квадрати, осморките, породени от три трансформации, в кубове.

Фиг. 11. Група II, изобразена като куб, към който сѫ прикачени три успоредника и една отсечка.

Доброто изобразяване позволява лесно да бѫдѫт видени различните трансформации. Така например, от фиг. 11 е видно, че в група II действат седем трансформации, и че една и сѫща свръзва реш. 19 със 101 и 18 със 106, тъй като ребрата между тѣх сѫ успоредни.

Неясно остава как трѣбва да се подходи към завъртането. Би било красиво, ако се намери начин дванадесетоѫгълникът от група Ι да бѫде изобразен като икосаедър или като нѣкое полуправилно пространствено тѣло.

Допълнение от 19 юли 2019. Изобразяване като управилно тѣло е невъзможно, защото трансформациите не сѫ симетрични: ротациите водѭт до тройки от решения, а отразяванията и завъртанията на 180° до двойки, четворки, осморки и (може би) други степени на 2. Дванадесетте решения от група I образуват две триѫгълни призми, чиито съответстващи върхове сѫ свръзани в двойки чрез завъртането на капката вѫтре във въртящийът се участък.

Допълнение от 20 юли 2019. Вече е възможно да качѫ пълната диаграма на връзките между решенията.

Фиг. 12. Връзките между всички решения. Диаграма достойна за съзерцание.

Класификация на решенията за една форма от тетрахексове

Поправка от 19 юли 2019. След откриване на една трансформация, която свръзва решения 24 и 8, предишните групи II и IV се сливат в настоящата група I. Нѣколко групи сѫ преименувани.

Вече писах за класификацията на решенията за правоѫгълникът 6 × 10 от пентомина, разработена от Хансен. С помощта на компютърна програма той показва, че 2339-те решения могѫт да бѫдѫт разделени в 911 класа, най-големийът от които има 50 елемента, а най-малките само по един. В рамките на всеки клас решенията могѫт да бѫдѫт трансформирани едно в друго с помощта на три операции: (1) разместване на положението само на две фигурки; (2) разменяне на местата на два участъка от решението (които имат еднаква форма); (3) симетрична операция върху подредбата на един участък.

Реших да проведѫ аналогичен анализ на решенията на по-проста форма, образувана със седемте тетрахекса, които сѫ показани на фиг. 1.

Фиг. 1. Седемте тетрахекса и имената им на български.

Подбрах форма, която има относително много решения, за да има какво да се класифицира. Показана е на фиг. 2 и може да се нарече Артишок. Има общо 30 решения, без да броим симетричните (които се получават чрез отразяване спрѣмо оста на симетрия).

 

Фиг. 2. Артишокът има 30 несиметрични решения.

При анализът се оказа, че има само едно прилагане на трансформация (2) по Хансен, която е размѣна на еднакви по форма участъци. Всички останѫли трансформации съответстват на (3) по Хансен, а именно симетрична операция върху подредбата на участък. Често участъците сѫ с размер само две фигурки, но тъй като сѫ симетрични не може да се говори за трансформация от тип (1). 

Решенията се разпадат на осем групи, най-голѣмата от които съдържа единадесет решения, а трите най-малки -- само по едно.  Нека отбележим, че при това положение най-голѣмата група поражда повече от една трета от всички решения. 

Фиг. 3. Решения 27 и 26 се превръщат в 23 и 25, и обратното, чрез завъртане не участък състоящ се от четири фигурки, т.е. повече от половината от общийът брой. Трансформацията между 7-10 и 8-9 се състои в завъртане на блок от пет тетрахекса, отбелѣзан в червено. Решение 24 има два частично застѫпващи се участъка, които осигуряват връзката между шестте решения в лѣво и четирите в дѣсно. Гредата остава неподвижна.

Допълнение от 12 юли 2019. В рамките на група II сѫществува още една трансформация, която свръзва решения 23 и 27. Става въпрос за размѣна на два участъка с еднакви очертания, както е показано на фиг. 3Б. В конкретнийът случай тази трансформация е с резултат, еквивалентен на завъртането на двата участъка заедно.

Фиг. 3Б. Двата участъка с еднаква форма сѫ оцветени в сиво и жълто. Разменянето им е еквивалентно на завъртане на целийът оцветен участък от четири фигурки.

На фиг. 4 сѫ показани решенията от група II. И тук единствено гредата остава неподвижна. 

Фиг. 4. Група II за Артишокът -- седем решения. Гредата е единствената неподвижна фигурка в тази група. Решения 19 и 20 могѫт да бѫдѫт доведени до 21, което, от своя страна, се обръща в 28 след четири трансформации.

Следващите четири групи сѫ по-малки, а последните три, съдържащи само по едно решение, сѫ представени заедно. Струва си да се отбележи, че единствено в група IV гредата не е разположена по периферията на артишокът.

Фиг. 4. Група III съдържа пет решения.

Фиг. 6. Групи IV  и V съдържат симетричен участък "капка", изграден по два различни начина. Група IV е уникална заради разположението на гредата, в средата на артишокът.

Фиг. 7. Трите решения, които образуват самостоятелни групи. 5 и 22 съдържат симетрични участъци, но със симетричен вѫтрешен строеж, поради което отразяването им не води до нови решения. Решение 15 е уникално сред всичките 30 решения с това, че не съдържа нито един симетричен участък, изграден от повече от една фигурка.

В сбит вид информацията за групите може да се представи в следната табличка:

Групи	Решения	Брой трансформации	Бележка
Ι	7, 8, 9, 10, 16, 17, 19, 20, 21, 28, 29	10	Единствена с размѣна на еднакви по контур участъци (вж. фиг. 3Б).
ΙI	11, 12, 23, 24, 25, 26, 27	6
ΙII	2, 3, 4, 6, 18	4
IV	0, 1	1	Единствена с разположение на гредата вѫтре в артишокът.
V	13, 14	1
VI	5	-
VII	22	-
VIII	15	-	Единствена без нито един симетричен участък, съставен от повече от една фигурка.

Допълнение от 19 юли 2019. Групите от решения могѫт да се представѭт като графове, в които премахваме самите изображения и оставяме само номерата. Всѣка трансформация е ребро на графът. Между нѣкои върхове сѫществуват повече от едно ребра, което е отбелѣзано с числото 2 на фиг. 8.

Фиг. 8. Всички групи представени като граф.

Макар и това да се дължи в не малка степен на пространствената подредба на отделните групи, безспорно ми се струва, че фиг. 8 притежава естетическа стойност, напомняйки за карта на звездното небе, с отбелѣзани съзвездия. Би било интересно да се разработи критерий, по който да се определят ѫглите между ребрата, независимо дали имат общ връх или не. Ребрата между двойките 11 - 12, 26 - 27 и 23 - 25 трѣбва да сѫ успоредни, защото става въпрос за една и сѫща трансформация. Наличието на ребра между еднакви върхове предполага, че ребрата не трѣбва да сѫ прави, а например дѫги от окрѫжност: тогава ѫглите между двете връзки 23-27 и останѫлите ще могѫт да сѫ различни. Принципно различен подход би бил да се дадѫт координати на всѣко решение и ребрата да се начертаѭт както дойде.