Форма от тетрахексове с най-много решения

Вече на нѣколко пѫти писах за форми с най-много решения за определен комплект от фигурки (пентомина и хексиаманти). И в двата случая става въпрос за набори от дузина фигурки и за форми с брой решения от пети порядък (10⁵). Когато пуснѫх програмата си да проверява формата на Рийд-Хамлин (за хексиамантите), откриването на 14 600-те решения ѝ отне малко над 20 минути. Ясно е, че нѣма как да правѭ експерименти в това поле, нито пък с набори от повече фигурки, като например хептиамантите. Реших обаче да си поиграѭ с тетрахексовете, които макар и да сѫ само седем, образуват интересни форми.

Наборът от фигурки може да бѫде видѣн тук. 

Избран бе методът на... налучкването. Допуснѫх, че, както е при пентомината и при хексиамантите, формата трѣбва да е сбита и несиметрична. Първото ми предположение се оказа и най-успешното, защото и така не можах да надминѫ 120 решения, които се получават при формата на фиг. 1.

Фиг. 1. Форма със 120 решения, най-доброто, което успѣх да постигнѫ. Вторийът резултат е 89 решения, с преместване на стърчащото шестоѫгълниче на една позиция надолу и в дѣсно.

Тръгнѫх от резултатите от машиннийът анализ на решения и с доста търпение и взиране стигнѫх до следните резултати относно класификацията им:

Група	Брой решения	Брой трансформации
I	29	16* (11* отразявания, 3* завъртания и 2 размени)
II	15	8 (5 отразявания, 2 размени и 1 завъртане)
III	9	9* (6* отразявания, 2* завъртания и 1 размѣна)
IV	7	6* (отразявания)
V	7	6* (отразявания)
VI	5	4 (отразявания)
VII	5	4 (3 отразявания и 1 завъртане)
VIII	5	3 (отразявания)
IX	5	3 (отразявания)
X	3	2 (отразяване и завъртане)
XI	3	2 (отразявания)
XII	3	2 (отразявания)
XIII	2	1 (отразяване)
XIV	2	1 (отразяване)
XV	2	1 (отразяване)
XVI	2	1 (отразяване)
XVII	2	1 (отразяване)
XVIII	2	1 (отразяване)
XIX	2	1 (отразяване)
XX	2	1 (отразяване)
XXI - XXVIII	1	0

Представянето на групите ще започнѫ от долната част на таблицата. Отбелѣзаните със * числа ще бѫдѫт коментирани по-долу.

Независими решения

Те сѫ едва осем, което прави 1/15 или 7% от всички възможности. N° 79 съдържа симетричен участък, който се отразява в самийът себе си. Нѣма как и иначе да бѫде, разбира се, защото ако участъкът не беше с вѫтрешна симетрия, щеше да доведе до свързано решение.

Фиг 2. Осемте решения, които не сѫ свързани с никое друго.

Двойки решения

Те сѫщо сѫ осем. Във всички случаи става въпрос за отразяване на участък, съставен най-често от две фигурки.

Група XX.

Група XIX.

Група XVIII.

Група XVII.

Група XVI.

Група XV.

Група XIV.

Група  ΧΙΙΙ.

Фиг. 3. Единствено групи XV и XVII използват трансформация на участък с повече от две фигурки, като всеки пѫт има подучастък със симетрична форма, но който не може да бѫде въртѣн независимо поради вѫтрешната си симетрия. В половината случаи променящийът се участък е съставен от Вълна + Червей.

Би могло да се зададе следнийът въпрос: какво точно е една трансформация? Две различни трансформации ли сѫ използвани в групи XVI и XIX, при положение, че става въпрос за участъци с еднакви очертания? Струва ми се редно тези две завъртания да бѫдѫт различавани, защото ако решим да дефинираме участъкът само с очертанията му, би излѣзло, че и отбелѣзаните в жълто участи в групи XIII и XX подлежѫт на трансформация. Така всички двойки решения се получават с общо пет различни трансформации, една от които се използва четири пѫти, другите по веднѫж.

Група XVII представлява интерес, защото съдържа симетричен участък, по-голѣм от оцветенийът (ако добавим Гредата). Да, но завъртането на този уголемен участък не би променило положението на Гредата, ето защо тя не се включва в трансформацията.

Тройки решения

И в трите групи има едно решение, върху което могѫт да бѫдѫт приложени две различни трансформации, но върху застѫпващи се участъци. Поради тази причина прилагането на едната трансформация блокира другата и общийът брой решение е не четири, а три. 

Група XII.

Група XI.

Група X.

Фиг. 4. Централното решение, върху което сѫ възможни две трансформации, не е оцветено.

Интересно е, че една от двете трансформации винѫги е отразяване на съчетанието Вълна + Червей, което вече видѣхме четири пѫти в двойните решения. Срещаме и първото завъртане, в група X, която притежава участък с централна симетрия.

Петорки решения

Ако в нѣкоя от предните три групи двете трансформации не засѣгахѫ застѫпващи се участъци, щѣхме да имаме и групи с четири члена. Нещата обаче не стоѭт така и бройът групи от пет решения е по-голѣм от бройът групи с три решения.

Група IX.

Група VIII.

Група VII.

Група VIII.

Фиг. 5. Петорки решения. Нито един случай на участък Вълна + Червей.

Както добре се вижда от картинките на фиг. 5, петорките решения се разпадат на два подтипа: с три трансформации (групи IX и VIII) и с четири трансформации (VII и VIII). Вторийът подтип всѫщност е по-прост: след прилагането на една трансформация става възможно прилагането само на една друга. Получава се верига от трансформации, която обаче не е циклична.

Другийът подтип е по-интересен, защото при него две трансформации върху незастѫпващи се участъци водѭт до четворки решения (представени в квадрат), върху едно от които може да се приложи трета трансформация (представена встрани).

Седморки решения

Тези две групи дават общо 14 решения, което е повече от 10% от общийът брой.

Група V.

Група IV.

Фиг. 6. И при двете седморки се наблюдават големи участъци (в сиво) със симетрични подучастъци (в жълто).

И двете групи функционират по следнийът начин: решенията съдържат голѣм симетричен участък, който съдържа на свой ред два симетрични подучастъка, които се застѫпват помежду си. В рамките на големийът участък, двата малки дават три решения, както вече видѣхме при групи X-XII. Самийът той обаче може да бѫде отразен, което удвоява решенията, към които се прибавя още едно, разрушаващо симетрията на големийът участък.

Поради причините, посочени по-горе, всѣка промѣна на вѫтрешната структура на големийът участък ни принуждава да броим отразяването му като нова трансформация. Ето защо и двете групи имат 6, а не 4 трансформации, колкото бихѫ се получили ако не обръщаме внимание на строежът на големийът участък.

Деветорка решения

Само една група дава девет решения, които представляват 7,5% от общийът брой, повече отколкото всички независими решения взети заедно.

Фиг. 7. Група III, единствената деветорка от решения и появата на първата размѣна на еднакви участъци (трансформация между решения 93 и 98; участъците сѫ показани само за 93).

Група III съчетава две стратегии за получаване на четворки решения: незастѫпващи се симетрични участъци (както при петорките VIII и IX) и симетричен участък в симетричен участък (седморките притежаваха два застѫпващи се участъка в голѣм, което даваше шесторки решения). Първата конфигурация се наблюдава при решения 61, 59, 95, 93, а втората при 98, 57, 90 и 78. Във вторийът случай пак трѣбва да броим три вместо две трансформации, защото отразяването на големийът участък е различно според позицията на подучастъкът. Към това трѣбва да се добавѭт и две завъртания на големийът участък, които свързват 98 със 78 и 90 с 57.

Към тези седем трансформации се добавят още две: едната е отразяването, което свръзва решения 60 и 61, а другата е размѣната на еднакви участъци между 93 и 98. Последната служи за връзка между двете четворки.

Петнадесеторка решения

Тази група съдържа 1/8 или 12,5% от всички решения. Свързаността между решенията е усложнена, което се отразява и на диаграмата, представена на фиг. 8.

Фиг. 8. Всички връзки между решения сѫ показани с черни линии.  Общийът за 89 и 91 участък не е оцветен по специален начин.

Сложността на изображението идва от осморката решения 101, 102, 19, 20, 96, 47, 97, 46, която образува куб. Това се дължи на три трансформации, които могѫт да бѫдѫт прилагани независимо една от друга: две завъртания на участъците с форма на капка (единийът съставен от Пистолет + Арка, оцветен винѫги в жълто, другийът от Пчела + Червей, винѫги в сиво), и размѣната на тези два участъка един с друг. В пет от осемте върха на този виртуален куб се образуват по-големи симетрични участъци. Завъртането на всеки един от тези големи участъци разрушава само едната капка и отразяването на другата създава допълнителна връзка между решенията (18 и 105, най-влѣво, 103 и 104 най-горе и 91 и 70 вѫтре). Към тези общо 6 трансформации (три в кубът и трите отразявания на големи симетрични участъци; завъртането на "оцелѣлата" капка не е нова трансформация) се добавя възможността за размѣна на два участъка в решение 97, което води до 89, както и завъртането на един симетричен участък, общ за 89 и 91 (Перка + Червей + Пистолет), и общо осем трансформации.

Група с най-много решения

Обхващайки почти една четвърт от всички решения, група I е с най-сложна геометрия, както е видно от фиг. 9.

Фиг. 9. Трансформациите, които свръзват нѣкои решения, не сѫ отразени с черти. Става въпрос за четворката 27, 42, 35, 41 и за двойките 31 и 24 и, по-долу, 1 и 5. Трансформацията между 31 и 1 е отбелѣзана встрани от свързващата ги черта.

Групата може да бъде мислена като съставена от две подгрупи, едната отразена с четири вписани квадрата в горната част на фиг. 9, а другата с дванадесетоѫгълникът в долната част. Към дванадесетоѫгълникът трѣбва да се свърже реш. 66, в долнийът лѣв ѫгъл, а към квадратите двойката реш. 24 и 31. Връзката между двете подгрупи се осѫществява посредством двете решения 1 и 5.

Анализът на първата подгрупа е по-лесен. Тя се състои от три свързани в триѫгълник куба. Първийът е образуван на сѫщийът принцип както в група II: два еднакви и взаимозаменяеми участъка, образувани от Вълна + Пчела (сиво) и Пистолет + Арка (жълто), търпѭт поотделно по едно отразяване (решения 27, 42, 35, 41, 28, 26, 34 и 25). Този първи куб има обща стена с друг куб, образуван от три трансформации: завъртане на съчетанието Пистолет + Арка и на две други фигури, една от които напълно обхваща предната, а другата, по-малка, която не се застѫпва с неѭ (решения 28, 26, 34, 25, 4, 7, 3 и 6). Третийът куб има обща стена с вторийът (реш. 3, 34, 25 и 6) и общ рѫб с първийът (34 и 25). В подгрупата действат общо шест трансформации, една от които размѣна.

Нещата сѫ по-заплетени при втората подгрупа, защото тя се основава на форма от три фигурки, която има три оси на симетрия, плюс централна симетрия. За тази форма приемам само две трансформации: завъртане на 120° по посока на часовниковата стрелка и отразяване спрѣмо вертикалната ос на симетрия. Тъй като самата форма търпи трансформация на вѫтрешнийът си строеж, горните трансформации трѣбва да се удвоѭт. Така и в тази подгрупа действат общо пет трансформации.

Ако сведем диаграмите до граф, в който е отбелѣзан просто номерът на всѣко решение, подгрупата съответстваща на дванадесетоѫгълникът ще придобие видът представен на фиг. 10.

Фиг. 10. Подгрупа на дванадесетоѫгълникът. Стрелките съответстват на завъртания.

Трансформацията завъртане, за разлика от всички останѫли, не се анулира при повторение. Това е така, защото формата има тройна симетрия.

Геометрично представяне на връзките между решенията

Както станѫ очевидно от разнообразните фигури, връзките между решенията се поддават на лесна геометрична интерпретация. Единствено изключение е подгрупата на дванадесетоѫгълникът, която остава трудна за възприемане. Всички трансформации, чието двойно прилагане води до анулиране, могѫт да бѫдѫт изобразявани като вектори, чиито представители образуват ребрата на паралелепипеди. Четворките решения, свързани от две трансформации, се превръщат в квадрати, осморките, породени от три трансформации, в кубове.

Фиг. 11. Група II, изобразена като куб, към който сѫ прикачени три успоредника и една отсечка.

Доброто изобразяване позволява лесно да бѫдѫт видени различните трансформации. Така например, от фиг. 11 е видно, че в група II действат седем трансформации, и че една и сѫща свръзва реш. 19 със 101 и 18 със 106, тъй като ребрата между тѣх сѫ успоредни.

Неясно остава как трѣбва да се подходи към завъртането. Би било красиво, ако се намери начин дванадесетоѫгълникът от група Ι да бѫде изобразен като икосаедър или като нѣкое полуправилно пространствено тѣло.

Допълнение от 19 юли 2019. Изобразяване като управилно тѣло е невъзможно, защото трансформациите не сѫ симетрични: ротациите водѭт до тройки от решения, а отразяванията и завъртанията на 180° до двойки, четворки, осморки и (може би) други степени на 2. Дванадесетте решения от група I образуват две триѫгълни призми, чиито съответстващи върхове сѫ свръзани в двойки чрез завъртането на капката вѫтре във въртящийът се участък.

Допълнение от 20 юли 2019. Вече е възможно да качѫ пълната диаграма на връзките между решенията.

Фиг. 12. Връзките между всички решения. Диаграма достойна за съзерцание.