Тетрахекс-89

За тетрахексовете, втората форма по брой решения ще наричам тетрахекс-89, или дори ТХ-89. Вече споменах за неѭ, но без да се впускам в подробности. След като приспособих програмата си, за да разпределя сама решенията във фигури, станѫ възможно да разгледам по-отблизко и тази форма. В случайът е интересно да се опитаме да разберем как шампионът при тетрахексовете успѣва да надвие над ТХ-89.

Фиг. 1. Тетрахекс-89.

Изготвих диаграма, която представя всички решения, но без да ги показва. Всѣка точка на фиг. 2 представлява едно решение, а връзките сѫ трансформации. Връзките с посока сѫ ротации на 120° по часовниковата стрелка. Те сѫ възможни единствено при наличие на участък с три оси на симетрия, освен централната симетрия (повечето участъци с централна симетрия имат само една ос на симетрия, поради което е възможна ротация само на 180°, трансформация, която наричах завъртане; липсата на централна симетрия, но наличие на осева, води до възможност за трансформацията отразяване, която е най-често срещаната). Когато за две решения съществуват две различни трансформации, които ги превръщат едно в друго, това е отбелѣзано с цифрата 2 върху връзката (става въпрос за размѣна на подучастъци на участък, който си има симетрия; двете трансформации се оказват еквивалентни).

Фиг. 2. Отношения между решенията за ТХ-89. За добра четимост на числата, трѣбва да се кликне на картинката.

Какви наблюдения могѫт да се направѭт въз основа на диаграмата? Най-напред, изолираните решения сѫ повече, отколкото при ТХ-120, а именно 11 срещу 8. Най-голѣмата група обаче е с по-малка мощност (16 срещу 29 при ТХ-120). Както и при ТХ-120, сѫществува само една група с участък, който може да се върти на 120°, но при ТХ-120 този участък сѫществуваше в две различни разновидности. При ТХ-89 той води до групата долу в дѣсно на диаграмата, която съдържа нещо като триѫгълна призма включваща шест решения, към която се прикачват две разклонения, едното кѫсо и съдържащо само едно решение (16), а другото нишковидно, от две решения (8 и 85). Най-голѣмата (16 реш.) и втората (10 реш.) групи съдържат трансформации, които не водѭт до нови решения, а образуват квадратите с пресечени диагонали. На всичкото отгоре, в групата с 10 решения имаме двойни връзки, което сѫщо е загуба на потенциални нови решения. 

Да разгледаме по-отблизо нѣкои елементи от диаграмата.

В група I (горнийът лѣв ѫгъл на диаграмата) имаме първи квадрат с пресечени диагонали. Той се дължи на участъкът, представен на фиг. 3, и който има две оси и център на симетрия.

Фиг. 3. Участъкът, чиито три трансформации пораждат само четири решения.

Резултатът от последователното прилагане на двете отражения около осите обаче е еквивалентен на отразяването около центърът на симетрия. Така вместо 2³ имаме 2⁴ решения, породени от този участък.

В група II (долу в лѣво на общата диаграма) имаме различна ситуация, съответстваща на другийът квадрат с диагонали в диаграмата на фиг. 2.

Фиг 4. Сивийът и жълтийът участъци могѫт да се разменѭт. Въпреки че и двата имат осева симетрия, единствено жълтийът поражда нови решения при завъртане.

Ако жълтийът участък на фиг. 4. сѫщо имаше несиметричен вѫтрешен строеж, конфигурацията щеше да поражда 8 решения, положение, което присѫстваше в ТХ-120.

Ред е на група III, която съдържа участъкът с три оси на симетрия. Нека отбележим, че при наличие на повече от една ос на симетрия, пресечната им точка е център на симетия. Затова един участък може да породи 1, 2, 4 или 6 различни решения, без промѣна във вѫтрешнийът си строеж.

Решаващ в случайът се явява вѫтрешнийът строеж на участък, който присѫтства в решенията както на ТХ-89, така и на ТХ-120, и който съм показал на фиг. 5.

Фиг. 5. Участъците с три оси на симетрия в решенията на ТХ-89 и ТХ-120.

Решаща е сивата част, която при ТХ-89 е вѫтрешно симетрична и отразяването ѝ не води до промѣна, докато при ТХ-120 е обратното. Поради тази особеност ТХ-89 губи шест решения.

Ако обобщим изводите за трите най-големи групи при ТХ-89, загубата на потенциални решения е 4 + 4 + 6 = 14. Без тези загуби, ТХ-89 щеше да се казва ТХ-112 и от ТХ-120 щѣхѫ да ѭ делѭт само осем решения.

Искам да обърнѫ внимание и на звездовидната група от четири решения в най-долнийът десен ѫгъл на общата диаграма. За разлика от съседната ѝ квадратна група, в неѭ работѭт три трансформации, т.е. с една повече, но несъвместими помежду си: става въпрос за три частично застѫпващи се симетрични участъка.

Фиг. 6. Три частично застѫпващи се симетрични участъка в звездовидната група. Общата и за трите фигурка е отбелѣзана в жълто (Пчела).

Ако два участъка не се застѫпвахѫ или единийът застѫпваше другийът напълно, групата щеше да съдържа пет решения; ако нито два от трите участъка не се застѫпвахѫ частично, решенията щѣха да сѫ осем и да образуват куб в диаграмата.