Световни посоки

Световни посоки

Световните посоки сѫ начин да се ориентаме в пространството, без да отчитаме своята конкретна позиция. Световните посоки, за разлика от егоцентричните дѣсно, лѣво и т.н., сѫ абсолютни; егоцентричните, които зависѭт от конкретното положение на човекът, който ги ползва, сѫ относителни.

Всички знаѭт четирите основни посоки на светът на български: север, юг, изток, запад. Макар днес да се определят с компас, традиционно те сѫ по-скоро свързани с положението на слънцето. "Изток" посочва откѫде то "изтичва", а "запад" накѫде "запада". В други славянски езици, например полски, свързани с положението на слънцето сѫ и други посоки (południe означава юг, т.е. мѣстото, кѫдето се намира слънцето в средата на деньт).

Всички останѫли посоки се образуват от четирите основни: северозапад, север-северозапад и т.н.

В много езици обаче има специални думи за четирите междинни посоки между основните. Вече споменах за положението в родствените на финскийът език. Така стоѭт нещата обаче и в различни индийски езици, сред които санскрит и каннада. Осемте посоки на светът там сѫ свързани с божества, известни като "осемте пазачи" (अष्ट दिक्पल). Статуи на тези пазачи присѫтстват в храмовете, разположени по предсказуемийът начин. Практически различаването им се осѫществява благодарение на животното, което яздѭт, както следва:

Божество	Посока	Животно
इन्द्र Индра	Изток	слон
अग्नि Агни	Югоизток	овен
यम Яма	Юг	бивол
निरृति Нирити	Югозапад	куче, магаре
वरुण Варуна	Запад	лебед, риба, крокодил
वयु Ваю	Северозапад	елен
कुबेर Кубера	Север	слон
ईशान Ишана	Североизток	вол

Бързо се вижда, че две божества яздѭт едно и сѫщо животно, че за нѣкои има различни варианти, т.е. системата не е доизпипана, нито приета навсѣкѫде.

 Повече от четири световни посоки има и в средиземноморската култура. Там те сѫ изразени чрез имена на ветрове. Нещата изглеждат доста объркано в историческа перспектива, но към настоящийът момент има осем основни вѣтъра, които посочвам с италианските им имена:

Вѣтър	Посока
Tramontana / Трамонтана	Север
Greco / Греко	Североизток
Levante / Леванте	Изток
Scirocco / Широко	Югоизток
Marino / Марино	Юг
Libeccio / Либечо	Югозапад
Ponante / Понанте	Запад
Maestro / Маестро	Северозапад

Тези ветрове, чийто брой варира при различните средиземноморски народи и автори, образуват т.нар. роза на ветровете, която краси много карти. На тази страница може да се прочете на български за ветровете. Имената им сѫ деформации на италианските имена, но не е ясно откѫде сѫ се взели и защо сѫ деформирани.

Изучавайки по-задълбочено ветровете, Аристотел определя десет основни, давам им имена и ги описва. Описанието му обаче не е геометрически точно. Ветровете не духат задължително по световните посоки, на равномерни ѫглови интервали. Вѣтърът е конкретен, наблюдаем факт, а световните посоки сѫ абстракция. По-късни автори поемат по два различни пѫтя: или да отнемат два вѣтъра (като Ератостен от Кирена) и да сведѫт системата до осемте, чиито италиански имена посочих, или да добавят два (като Тимостен от Родос) и да стигнѫт до симетрична система с дванадесет вѣтъра.

Съчиненията на Тимостен от Родос не сѫ достигнѫли до нас прѣко, а чрез цитати при други автори. Той навѣрно е първийът грък, който придава на ветровете абстрактно значение на световни посоки.

Вѣтър	Посока
ἀπαρκτίας / апарктиас	Север
βορέας / бореас
καικίας / кайкиас
ἀπηλιώτης /апелиотес	Изток
εὖρος / еврос
εὐρόνοτος / евронотос
νότος нотос	Юг
λιβόνοτος / либонотос
λίψ / липс
ζέφυρος / зефирос	Запад
ἀργέστης / аргестес
θρασκίας / траскиас

Да отбележим, че при Тимостен два от ветровете имат съставни имена (евронотос и либонотос), образувани от имената на двата им съседни вѣтъра. Именно тези два липсват при Аристотел и сѫ добавени от Тимостен.

Така или иначе, налага се Ератостеновата система с осем вѣтъра, увековечена в Кулата на ветровете в Атина, може би първата метеорологическа станция в светът. Кулата е осмоѫгълна, в горната част на всѣка стена сѫ изобразени олицетворения на осемте вѣтъра.

Римляните като цѣло сѫ взаимствали много неща от гърци, защо не и ветровете? Сенека цитира друг римски учен, давайки имена за дванадесетте вѣтъра.

Вѣтър	Посока
Septentrio	Север
Aquilo
Caecias (от гръцки)
Subsolanus	Изток
Vulturnus
Euronotus (от гръцки)
Auster	Юг
Libonotus (от гръцки)
Africus
Favonius	Запад
Corus
Thrascias (от гръцки)

Плиний Стари обявява системата с дванадесетте посоки за твърде сложна и ѭ опростява до осем. Запазените осем съм поставил в тлъсти букви в горната таблица. Изчезват ветровете с гръцки имена, което е косвено свидетелство, че римляните не сѫ ги ползвали и че системата, посочена при Сенека, е по-скоро изкуствена. Съвършено изкуствена е системата на Витрувий, който изброява и подрежда двадесет и четири вѣтъра.

Карл Велики сѫщо бил възприел дванадесет световни посоки, но с германски имена. Интересното там е, че междинните посоки сѫ със съставни имена и първийът квадрант звучи така: Норд-рони, Норд-ост-рони, Ост-норд-рони, Ост-рони (тиренцата сѫ от мен). Все едно на български да различаваме североизток и изтокосевер.

При китайците традиционно има четири основни световни посоки, сѫщите като нашите, но, както при индийците, броенето започва от изток (откѫдето изгрѣва слънцето). Понеже китайците обичат нещата да сѫ по пет, има и посока "среда":

Китайска дума	Посока
東 дунг	Изток
南 нан	Юг
西 си	Запад
北 бей	Север
中 чжунг	Среда

Сѫществува обаче и традиционна система с повече посоки, известна като "земните клони", основана на наблюдение на орбитата на Юпитер (малко по-малко от дванадесет години за един пълен цикъл). Те участват в множество символни системи, които сега не си струва да се изброяват. Важното е, че сѫ свързани със световните посоки и че на всеки земен клон съответства животно (това е основата на китайскийът зодиак, така както е известен в западнийът свѣт).

Земен клон	Посока	Животно
子 цзъ	Север	Мишка
丑 чоу		Вол
寅 ин		Тигър
卯 мао	Изток	Заек
辰 чън		Дракон
巳 съ		Змия
午 у	Юг	Кон
未 уей		Овен
申 шън		Маймуна
酉 йоу	Запад	Петел
戌 сю		Куче
亥 хай		Свиня

Важно е да се отбележи, че животните сѫ съчетани със земните клони съвсем условно. Те сѫ нещо като синоними, предназначени да се ползват от неспециалисти.

Сѫществуват и системи, които въвеждат половинки (още дванадесет имена) и дори четвъртинки (със съставни имена). Макар и да сѫ били използвани от мореплаватели, подобни системи сѫ твърде сложни и редки.

Какво може да се каже в обобщение?

Много народи сѫ имали или все още имат системи за абсолютна ориентация с повече от четири световни посоки. Най-разпространени сѫ системите с осем посоки, по-рѣдко се срещат и с дванадесет. При индоевропейските народи посоките сѫ олицетворени -- с богове в Индия, с ветрове (които сѫщо сѫ богове, на практика) при гърци и римляни. При всички народи такива по-сложни системи сѫ били полезни на мореплавателите.

Добавянето на третинки от квадрант има практически смисъл, като се вземе пред вид, че слънцето не изгрѣва от едно и сѫщо мѣсто през лѣтото и през зимата. Точно от изток слънцето изгрѣва само в деньт на пролетното равноденствие (около 21 март). Максималното отклонение зависи от географската ширина, на която се намира наблюдательт, но в умеренийът пояс 1/3 от квадрант (30°) е приемливо приближение.

В китайската система делението на дванадесет нѣма общо със слънцето, а с движението на планетата Юпитер. Неясно остава (за мен) защо сѫ избрали именно тази планета за основен принцип.

Егоцентрични или относителни посоки

Всичко казано до тук касае абсолютни посоки, които не зависѭт от местоположението на говорещийът. Далеч по-слабо развити сѫ обаче относителните посоки: не ми е известно да има език с понятия различни от дѣсно, лѣво, напред и назад. Не просто има само четири понятия, но и те си нѣмат междинни, образувани на принципът на "североизток".

И все пак, сѫществува по-сложна система за относителна ориентация, разработена за нуждите на авиацията. Може би там абсолютните системи на моряците сѫ били неприложими, тъй като не се виждат обекти по земята, а нѣма време за гледане на звездите? Системата използва циферблатът за ориентация и е навлѣзла и в езикът на неспециалистите, макар и да се ползва рѣдко: "Обект на два часа".

Паркетиране на равнината и пъзли

От нѣколко седмици насам се връщам към едни от "Математическите развлечения", с които се срещнѫх за първи пѫт в пети клас благодарение на книгата на Мартин Гарднър. Благодарѭ на хората, които сѫ ѭ превели на български и над библиотекарьт, който ѭ е осигурил в училище "Димчо Дебелянов", кѫдето учех тогава!

Тогава изрѣзвах пентомина и хексомина от тетрадки с карирани листи и ги редѣх на масичката в холът у дѣдо и баба. Днес е възможно все още да сѫ останѫли нѣкои от фигурките, между листите на стари тетрадки или в други съкровищници от онези дни.

Да припомнѭ набързо за какво става въпрос.

Когато вземем n на брой квадратчета с еднакви размери, можем да ги подредим така, че рѫбовете им да се докосват. Ако вземем само едно квадратче, получава се една фигурка, наречена мономино. Ако вземем две, пак се получава само една фигурка -- домино (от тук идва и самото окончание). С три квадратчета се получават две тримина. Така стигаме до дванадесетте пентомина, които сѫ изключително интересен комплект.

Пълнийът комплект от пентомина.

Прекрасното при този комплект е, че 12 × 5 = 60 и от фигурките могѫт да се подредѭт различни правоѫгълници: 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10. Наблизо до кѫщата, кѫдето живеехме във Варна, има блокове, чиито фасади сѫ украсени с пана от пентомина. Явно архитектът сѫщо се е радвал на тези фигурки.

Тази снимка взех от интернет. Цѣлостното излѫчване напомня за България. Когато се приберѫ във Варна това лѣто, ще снимам блоковете, които съм виждал в детството си.

Пентомината могѫт дори да бѫдѫт подредени във формата на паралелепипед с приятно съотношение на дължините на рѫбовете: 3 × 4 × 5. Това се случва, когато заместим квадратчетата с кубчета. Сѫществуват много игри, които ползват пентомина, обикновено съставени именно от кубчета. В послените три години купих два такива комплекта, но най-скѫпийът ми си остава този, който направи баща ми, когато още бѣх ученик. Тогава той беше дърводелец. Нѣкак съм успѣл да го убедѭ да отдели толкова много време и внимание, защото беше направил не само пентомина, а сѫщо и пълнийът комплект от хексомина (35 на брой) и от простраствени пентакубове (фигурки от пет кубчета, но разположени не само в равнината, както е при полиомината). Цѣлата колекция напълваше една кутия за обувки, при рѫб на кубчето около два сантиметра. Сега тези фигурки сѫ нѣкѫде във Варна, на неизвестно за мене мѣсто.

Паралелепипед, сглобен от комплектът Cayro.

Сега погледът ми е много повече привлечен от фигурките, образувани от по-сложни елементи.

Преди малко повече от месец се амбицирах да изрежѫ всичките фигурки образувани от квадрат, правоѫгълен триѫгълник с катети единица и правоѫгълен триѫгълник с катети едно и две. Пълнийът комплект може да се види на сайтът на F. Esser тук. Изработването на самийът комплект не беше трудно, заради силното присѫствие на прави ѫгли. За съжаление, сглобяването на форми от този комплект се оказа доста трудно на рѫка.

Рѫчноизработенийът ми комплект. Самата форма ѭ копирах от интернет.

След това дойде ред на пъзел, измислен от Кристофър Монктън (Christopher Monckton), ексцентричен английски благородник. Неговийът сайт вече не сѫществува, но самийът пъзел може все още да се види на сайта на Вихер, тук. Използва се мрежа от квадрати и равностранни триѫгълници, известна като "плосконос квадрат". Самите квадрати сѫ разрѣзани на два равнобедрени правоѫгълни триѫгълника. Всѣка от двадесетте фигурки се състои от четири триѫгълника (два равностранни и два правоѫгълни, или три от единийът вид и само един от другийът).

Решетката, която се използва за комплектът на Монктън. На английски това паркетиране на равнината се нарича snub square. В Уикипедия има малко информация за него.

На сайтът на Вихер има нѣколко примера за форми, образувани с този комплект. В течение на нѣколко седмици се блъсках със SVG и JavaScript, но в крайна сметка успѣх да напишѫ код, който намира решения за произволна форма. В моите чертежи квадратите сѫ разбити на четири малки равнобедрени триѫгълника. Това е само за удобство при програмирането.

Общата площ на фигурките на Монктън е 40 правоѫгълни и 40 равностранни триѫгълника. Възможни сѫ форми с много добра симетрия.

Две големи яйца. Всѣко едно съдържа точно 20 правоѫгълни и 20 равностранни триѫгълника.

Две припокриващи се големи яйца и едно малко. Общата област на големите е сѫщо малко яйце. Малкото яйце съдържа по 8 от двата вида триѫгълници. За съжаление, не е възможно да се образуват пет отделни малки яйца.

От този пъзел по естествен начин достигнѫх до така наречените петоѫгълници от Кайро (защото там имало много тротоари с такива плочки; на мен ми се струва, че и във Варна има, това лѣто ще ги издирвам). Когато центровете на квадратите и равностранните триѫгълници в мрежата "плосконос квадрат" бѫдѫт съединени, се получава мрежа от еднакви петоѫгълници, които, четири по четири, се съединяват в шестоѫгълници.

Самите пропорции на петоѫгълници от Кайро могѫт да варират, но нѣкои отношения остават константи. Два от ѫглите винѫги сѫ прави, четири от страните винѫги сѫ еднакво дълги. Ѫгълът срещу вариращата страна се движи от 90° до 270°, но в тези два крайни случая фигурата вече не е петоѫгълник.

На сѫщийът принцип, както при полиомината, могѫт да се образуват и поликайрота. В интернет има доста сайтове, на които сѫ представени различни комплекти (от монокайро до хептокайро и нагоре). Интерес за мен представляват тетракайротата, които сѫ седемнадесет на брой. Като цѣло, забелязвамъ, че оптималнийът размер на един комплект от подобни фигури е между десет и двадесет. Ако сѫ по-малко, не е интересно, ако сѫ повече, стават твърде трудни за боравене.

Всички тетракайрота. Картинката е взета от сайта на Ливио Дзука (Livio Zucca).

Както и при елементите от пъзелът на Монктън, в първийът момент ме изумява трудността да бѫдѫт запомнени различните конфигурации. Нѣкои сѫ много лесни за възприемане (първата и последната), други могѫт да бѫдѫт възприети като осакатени шестоѫгълници (последната на първийът и първата на вторийът ред). Умът, привикнѫл към ориентация в правоѫгълни мрежи, се оказва силно затруднен тук. Понятията горе/долу и лѣво/дѣсно, с помощта на които се ориентираме, сѫ неприложими. За да може човек да се ориентира в тази мрежа и да разбере и запомни формите на тетракайротата, нужна е нѣкаква концептуализация на пространството.

Съседите на един петоѫгълник.

Има две насоки за осмисляне: изхождайки от единичните петоѫгълници или от шестоѫгълниците, които те образуват четири по четири.

В случай, че искаме да се ориентираме посредством петоѫгълниците, нужни сѫ ни много повече от четирите думи, достатъчни за ориентрация в квадратна мрежа (горе/долу, лѣво/дѣсно): петоѫгълникът A се намира в уникално отношение спрѣмо жълтийът петоѫгълник. За него трѣбва дума, която нѣма антоним, или поне нѣма симетричен антоним, предполагащ огледалност. Всички останѫли петоѫгълници се разпределят в двойки: B - C, D - E, P - Q. Значи трѣбват три двойки симетрични/огледални думи. В крайна сметка, нужни сѫ общо седем думи. За моментът, да използваме съставни думи. Спрѣмо жълтийът петоѫгълник, другите се намират както следва:
A - направо;
B - направо-дѣсно;
C - направо-лѣво;
D - обратно-дѣсно;
E - обратно-лѣво;
P - надѣсно;
Q - налѣво.
Следването на една и сѫща посока в квадратна мрежа ни прекарва по прави линии (надолу-надолу-надолу...). Тук този обход ни кара да се въртим в крѫг: тръгвайки от жълтийът петоѫгълник и следвайки посока винѫги направо, ще прескачаме безкрайно между него и A. С посока винѫги направо-дѣсно пък ще се въртим в четворката жълт-B-P-D.

Какво ще се получи, ако се ориентираме по шестоѫгълниците? Нужно е, от една страна, да ситуираме петоѫгълниците в шестоѫгълниците, от друга, да ситуираме шестоѫгълниците един спрѣмо друг.

Ориентация, изхождаща от шестоѫгълниците. Системата е напълно симетрична, но сѫ нужни десет думи.

Защо човекът ползва само симетрични системи за ориентация? Заради анатомията му, безспорно. Ходим по земята, затова за нас има горе и долу; имаме две симетрично разположени рѫце, затова за нас има дѣсно и лѣво; имаме очи само от едната страна на тѣлото, затова за нас има напред и назад. За посоките на светът ползваме четири думи -- север, юг, изток и запад. Но в естонскийът и финскийът имат осем думи. Ще дам пример с естонски, защото думите там сѫ по-кратки, започвайки от север и въртейки се по посока на часовниковата стрелка: põhi, kirre, ida, kagu, lõuna, edel, lääs, loe.

Пчелите има тѣло със сѫщийът вид симетрия, като нашето, но строѭт килийки, които сѫ шестоѫгълни и разположени по съответнийът начин. Ако можехѫ да говорѭт, бихѫ ли имали шест думи за посоките в шестоѫгълна мрежа? Или, казано по по-човешки начин, как бихѫ се ориентирали жителите на град с улици във формата на шестоѫгълна мрежа (мечтата на Валтер Кристалер)? "Вървете по тази улица и, когато стигнете до църквата, завийте на..."? Решение, и то за проблемът е пространството, а не просто в равнината, навѣрно се съдържа в терминологията на кристалографите.

Макар и тук да е нарѣзана на квадратни парчета, пчелната пита се състои от шестоѫгълници.

NALDO е името на мрежата от средства за обществен транспорт в юго-западна Германия. Картата е разделена на шестоѫгълници, като всеки един има нещо като централен град. Това навѣрно е свързано с моделът на Кристалер.

Всички тези въпроси сѫ интересни, но да се върнем към комплектът от седемнадесет тетракайрота. Понеже един шестоѫгълник е съставен от четири петоѫгълника, както и всѣко тетракайро, човек би могъл да се надѣва комплектът да може да покрива форми, съставени от седемнадесет шестоѫгълника. За съжаление, това е невъзможно. Невъзможни сѫ каквито и да е симетрични форми, в които участват всичките тетракайрота. Ако обаче оставим настрана едно от тетракайротата, сѫществуват хиляди начини да бѫде покрит ромб с рѫб от четири шестоѫгълника.

Едно от решенията за ромбът с рѫб от четири шестоѫгълника. Едно от тетракайротата не е използвано.

Ливио Дзука е доказал, че симетрични форми не могѫт да се образуват и с 55-те пентакайрота. Много тѫжно.